数列方法(帮忙总结一下高中数列的)

1.帮忙总结一下高中数列的基础知识

高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 ，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标. ①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解. ②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及 ；已知 求 时，也要进行分类； ③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整 体思想求解. （4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错. 一、基本概念： 1、数列的定义及表示方法： 2、数列的项与项数： 3、有穷数列与无穷数列： 4、递增（减）、摆动、循环数列： 5、数列的通项公式an: 6、数列的前n项和公式Sn: 7、等差数列、公差d、等差数列的结构： 8、等比数列、公比q、等比数列的结构： 二、基本公式： 9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d （其中a1为首项、ak为已知的第k项） 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0）,Sn=na1是关于n的正比例式。 12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k （其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0） 13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 （是关于n的正比例式）； 当q≠1时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。

15、等差数列中，若m+n=p+q，则 16、等比数列中，若m+n=p+q，则 17、等比数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 18、两个等差数列与的和差的数列、仍为等差数列。

19、两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列 、、仍为等比数列。 20、等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

21、等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 （为什么？） 24、为等差数列，则 （c>0）是等比数列。

25、（bn>0）是等比数列，则 （c>0且c 1） 是等差数列。 26. 在等差数列 中： （1）若项数为 ，则 （2）若数为 则， ， 27. 在等比数列 中： （1） 若项数为 ，则 （2）若数为 则， 四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

关键是找数列的通项结构。 28、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和：如an= 32、求数列的最大、最小项的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② （an>0） 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的。

2.数列的相关知识

高一年级上学期数学第一册（上）第三章数列，接近尾声，在讲了这一章之后，现将该章的一些知识、概念、公式、方法总结如下，希望对同学们的复习备考有所帮助。

知识总结 高考对本单元的考查比较全面，等差数列，等比数列，每年都不会遗漏. 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基本，所以在数学高考中占有重要的地位，近几年本单元的试题平均占全卷总分的8%左右.大多是一道选择或填空题，一道解答题.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数及不等式的知识综合起来.探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现.应用问题有时也要用到本单元的知识.近几年的数列解答题文、理分开，文科比理科的要求层次明显降低，理科试题常要进行分类讨论. 数列高考试题近几年均是围绕等差数列、等比数列的，这不同于80年代侧重于递归数列性质的考查.因此数列的高考复习应着眼于教材的基本知识、基本方法，不要盲目扩展，要把握准《考试说明》的具体要求. 【基本概念】 1.数列及通项公式：按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，……第n项，…… 数列的一般形式可以写成a1,a2,a3，…，an，…… 其中an是数列的第n项，有时我们把上面的数列简记作{an}，如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，如数列1，，，，……，的通项公式为an=. 2.递推公式：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法，如在数列{an}中，a1=1，以后各项中公式an=1+给出，也可求这个数列中的任意一项. 3.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 4.等差中项：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项. 容易看出，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项. 5.等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）. 6.等比中项：与等差中项的概念类似，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 如果G是a与b的等比中项，那么=，即 G2=ab 因此，G=±. 反过来，如果a,b同号，G等于或-，即G2=ab，那么G是a、b的等比中项. 【基本公式】 等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(d为公差).等差数列的前n项和公式：Sn==na1+d，当d≠0时，an是n的一次函数，Sn是n的二次函数（无常数项） 等比数列的通项公式：an=a1qn-1(q为公比，q≠0) 等比数列的前n项和公式：Sn= 注：对公比为字母q的等比数列求和时，要对q进行讨论能否等于1. an= 【基本思想与方法】 1、判断一个数列是等差数列的方法：定义法、中项法、通项公式法、前n项和公式法； 2、判断一个数列是等比数列的方法：定义法、中项法、通项公式法； 3、数列求和的方法： 1、直接利用公式求和； 2、倒序相加法； 3、错位相减法； 4、分解转化（拆项）法； 5、裂项相消法； 6、并项法。 4、函数思想：将数列上升为特殊的函数来认识； 5、数形结合思想方法：函数的图象能直接反映数列的本质； 6、方程（组）思想：等差、等比数列中在求时，知三求二，所用的就是方程思想。

7、观察分析法：求通项公式时常用； 分类讨论法：求等比数列的前n项和公式时要考虑公比是否为1，公比是字母时要进行讨论。

3.怎样学习数列

数列是高中数学十分重要的内容，数列和其它知识（如函数、不等式、解析几何）的联系非常密切。

就数列本身而言，无论从解题方法还是题型的规律，应当说都是有所遵循的，下面我们做一些简单的总结。 一、基本知识 1.定义： （1） .数列：按一定次序排序的一列数 （2） 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列 （3） 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列 2. 通项公式与前n项和公式 （1） 为等差数列： （ 2） 为等比数列： （q 3. 常用性质 1. 为等差数列，则有 （1） 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项， （n>1） (2) (3) 若m+n = p+q ， 则： ，特殊的：若m+n=2r ，则有： （4） 若 则有： （5） 若 则有： （6） 为等差数列 为常数） （7） ┅┅仍成等差数列 （8） 为等差数列，则 为等差数列（p,q为常数） （9）若项数为偶数2n， ， 若项数为偶数2n-1, , (10) 2. 为等比数列，则有 （1） 只有同号的两数才存在等比中项 （2） (3) 若m+n = p+q ， 则： ，特殊的：若m+n=2r ，则有： （4） 为等比数列，则 ， ，{ }为等比数列（ ） （5） 等比数列中连续n项之积构成的新数列仍是等比数列，当 时，连续项之和仍为等比数列 （6） 二、基本方法 1.基本量法：这是数列解题中最常用也是最有效的方法，所谓“基本量法”，就是把条件中的所有量都化成 （等差数列）或 的形式，最终转化为解方程组的问题。

2.常用方法：这里是指特定题型的特定方法，如：裂项法、错项相减法、倒序相加法等，这些方法只有知道它们适用的题型就比较容易掌握，如有困难，可能难在它们的变形上，但变形训练是一个系统过程，这里我们无法具体说明，好在本站的“本站推荐”栏目中的“试学内容2”恰好是数列求和问题，你可以参考。 三、常见题型 1. 求通项 如：“ ，求通项公式 这是递推数列问题，可以计算出 ，猜出 ，然后再证明，也可以转化为 ，利用{ }是公比为3的等比数列，先求出 ，然后再求 . 2. 求和 如：“ 其前n项和是________” 先把每一项的和计算出来，概率自然就找到了。

3. 求最值 如：“ 为等差数列， ，并求n为何值时， 最大 这类问题的解法比较多，但下面的方法最容易操作也最具有普遍性： 设 最大，则 ，求出相应的 问题也就解决了。 4. 关系 如：“设数列 的前n项和为 ，求证： 为等比数列 公式 是解题的工具。

5.与其它综合 （1）：与函数综合（如三角函数，指对数函数等） 如：“已知函数 ，设 数列的知识要求倒不高，关键是通过函数知识，用相关方法最终转化为数列问题。 （2）：与方程综合 如：“已知关于x的二次方程： 的两根 满足， ，则 是否为等比数列 （3）：与极限综合 如：“设等比数列 的公比为 ，且 ，则 的值？” （4）：与二项式定理综合 如：“已知等比数列 ，求和 （5）：与实际问题综合 如：“某县位于沙漠边缘地带，人与自然进行顽强的斗争，到1998年底全县的绿化率已达到 %，从1998年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积16%被栽上树，改造成绿洲，而同时原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠①设全县面积为1,1998年底绿洲面积为 ，经过一年绿洲面积为 ，经过n年绿洲面积为 ，求证 ②问：经过多少年的努力，才能使全县绿洲的面积超过60%（年取整数）？” 以上题目我们不可能一一进行详细的说明，相信对每一个具体问题你知道如何解决，重要的是通过总结使自己头脑中对数列的知识、方法有一个清晰的轮廓，心中有数，这样就不至于无所适从。

另外，方法和规律都是死的，要想真正融会贯通，必须提高对数学的认识层次，至少对数学方法的应用、数学问题的实质能够在短时间内作出迅速的反应，哪怕反应不那么正确，要达到这一点，只靠总结就不管用了，还要用心去体会。

4.如何学好高一数学中的数列知识

重点掌握等差数列和等比数列的求法和其性质，学会如何求通项公式an以及前n项和Sn，掌握常见的求通项公式的方法（定义法、构造法、猜想和数学归纳法等），熟练掌握Sn的求法（主要有几种方法：定义法（等差数列和等比数列）、叠加法、错位相减法（一个等差数列乘以一个等比数列）、分组求和法（一般是一个等比数列加上一个等差数列）、裂项相消法（如1/(1*2)+1/(2*3)+……+1/n(n+)=1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1) 其实就是运用了公式：

1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) 这就是裂项）、套用公式法（如已知an=n^2 求sn ，便可运用公式：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1) 这种只能靠记住一下常用公式）除此之外，还有其他的一些方法，靠你在实战中去不断总结吧！ ）最后强调一句，做多点练习必不可少的！

祝你学习顺利！

5.高中数列知识点详解

第一：掌握两个重要的数列：等差数列和和等比数列，重点掌握它们的性质、通项公式的求法以及n项和的求法（公式）。这两个数列是常考的题型。必须要熟练掌握！

第二：学会常见的数列通项公式an的求法（主要有：定义法、叠加法、曡乘法、构造数列法、猜想和数学归纳法）和n项和Sn的求法（公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和法等），同时要多积累和总结这方面的题型。

第三：要想拿高分，还要积累一些常见的放缩公式，以便用于证明一些有关数列不等式

第一和第二是重点也是基础，一定要掌握！至于第三嘛，靠慢慢积累才行！

6.数列的10种通项公式

数列通项公式的几种求法 数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列的一种重要方法。

数列通项公式具备两大功能，第一，可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；第二，可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题；因此，求数列通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既考察等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生数学素质的要素之一，因而经常渗透在高考和数学竞赛中。本文分别介绍几种常见的数列通项的求法，以期能给读者一些启示。

一、常规数列的通项 例1：求下列数列的通项公式 （1）2(22—1),3(32—1),4(42—1),5(52—1)，… （2）-1*2(1),2*3(1),-3*4(1),4*5(1)，… （3）3(2),1,7(10),9(17),11(26)，… 解：（1）an=n(n2—1) (2)an= n(n+1)((-1)n) (3) an=2n+1(n2+1) 评注：认真观察所给数据的结构特征，找出an与n的对应关系，正确写出对应的表达式。二、等差、等比数列的通项 直接利用通项公式an=a1+(n-1)d和an=a1qn-1写通项，但先要根据条件寻求首项、公差和公比。

三、摆动数列的通项 例2：写出数列1,-1,1,-1，…的一个通项公式。解：an=(-1)n-1 变式1：求数列0,2,0,2,0,2，…的一个通项公式。

分析与解答：若每一项均减去1，数列相应变为-1,1,-1,1，… 故数列的通项公式为an=1+(-1)n 变式2：求数列3,0,3,0,3,0，…的一个通项公式。分析与解答：若每一项均乘以3(2)，数列相应变为2,0,2,0，… 故数列的通项公式为an=2(3)[1+(-1)n-1 ] 变式3：求数列5,1,5,1,5,1，…的一个通项公式。

分析与解答1：若每一项均减去1，数列相应变为4,0,4,0，… 故数列的通项公式为an=1++2*3(2)[1+(-1)n-1 ]=1+3(4)[1+(-1)n-1 ] 分析与解答2：若每一项均减去3，数列相应变为2,-2,2,-2，… 故数列的通项公式为an=3+2(-1)n-1 四、循环数列的通项 例3：写出数列0.1,0.01,0.001,0.0001，…的一个通项公式。 解：an= 10n(1) 变式1：求数列0.5,0.05,0.005，…的一个通项公式。

解：an= 10n(5) 变式2：求数列0.9,0.99,0.999，…的一个通项公式。 分析与解答：此数列每一项分别与数列0.1,0.01,0.001,0.0001，…的每一项对应相加得到的项全部都是1，于是an=1- 10n(1) 变式3：求数列0.7,0.77,0.777,0.7777，…的一个通项公式。

解：an= 9(7)(1- 10n(1)） 例4：写出数列1,10,100,1000，…的一个通项公式。解：an=10n-1 变式1：求数列9,99,999，…的一个通项公式。

分析与解答：此数列每一项都加上1就得到数列10,100,1000，… 故an=10n-1。变式2：写出数列4,44,444,4444…的一个通项公式。

解：an= 9(4)(10n-1) 评注：平日教与学的过程中务必要对基本的数列通项公式进行过关，这就需要提高课堂教与学的效率，多加总结、反思，注意联想与对比分析，做到触类旁通，也就无需再害怕复杂数列的通项公式了。五、通过等差、等比数列求和来求通项 例5：求下列数列的通项公式 （1）0.7,0.77,0.777，… （2）3,33,333,3333，… （3）12,1212,121212，… （4）1,1+2,1+2+3，… 解：（1）an==7*=7*(0.1+0.01+0.001+…+)=7*(10(1)+102(1)+103(1)+…+10n(1))==9(7)(1-10n(1)) (2)an==3*=3*(1+10+100+…+10n)=3*1-10(1-10n)=3(1)(10n-1) (3)an==12*(1+100+10000+…+100n-1)=12*1-100(1-100n)=33(4)(102n-1) (4)an=1+2+3+…n=2(n(n+1)） 评注：关键是根据数据的变化规律搞清楚第n项的数据特点。

六、用累加法求an=an-1+f(n)型通项 例6:(1)数列{an}满足a1=1且an=an-1+3n-2(n≥2)，求an。(2)数列{an}满足a1=1且an=an-1+2n(1)(n≥2)，求an。

解：（1）由an=an-1+3n-2知an-an-1=3n-2，记f(n)=3n-2= an-an-1 则an= (an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…（a2-a1）+a1 =f(n)+ f(n-1)+ f(n-2)+…f(2)+ a1 =(3n-2)+[3(n-1)-2]+ [3(n-2)-2]+ …+（3*2-2）+1 =3[n+(n-1)+(n-2)+…+2]-2(n-1)+1 =3*2((n+2)(n-1))-2n+3=2(3n2-n) (2)由an=an-1+2n(1)知an-an-1=2n(1)，记f(n)=2n(1)= an-an-1 则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…（a2-a1）+a1 =f(n)+ f(n-1)+ f(n-2)+…f(2)+ a1 =2n(1)+2n-1(1)+2n-2(1)+…+22(1)+1=2(1)-2n(1) 评注：当f(n)=d(d为常数)时，数列{an}就是等差数列，教材对等差数列通项公式的推导其实就是用累加法求出来的。七、用累积法求an= f(n)an-1型通项 例7:(1)已知数列{an}满足a1=1且an=n(2(n-1))an—1(n≥2)，求an (2)数列{an}满足a1=2(1)且an=2n(1)an—1，求an 解：（1）由条件 an—1(an)=n(2(n-1)），记f(n)=n(2(n-1)) an= an—1(an)· an—2(an-1)·… a1(a2)·a1=f(n)f(n-1)f(n-2)…f(2)f(2)a1=n(2(n-1)）·n-1(2(n-2)）·n-2(2(n-3)）·…3(2*2)·2(2*1)·1=n(2n-1) (2)an= an—1(an)· an—2(an-1)·… a1(a2)·a1=2n(1)·2n-1(1)…22(1)·2(1)=21+2+…+n(1)=2- 2(n(n+1)） 评注：如果f(n)=q(q为常数)，则{an}为等比数列，an= f(n)an—1型数列是等比数列的一种推广，教材中对等比数列通项公式地推导其实正是用累积法推导出来的。

八、用待定系数法求an=Aan-1+B型数列通项 例8：数列{an}满足a1=1且an+1+2an=1，求其通项公式。解：由已知，an+1+2an=1，即an=-2 an—1+1 令an+x=-2(an-1+x)，则an=-2 an-1-3x，于是-3x=1，故x=-3(1) ∴ an-3(1)=-2(an-1-3(。