等差等比数列(等差数列,等比数列的基本知识)

1.等差数列,等比数列的基本知识

等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

通项公式 等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1) 前n项和公式 前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2) 以上n均属于正整数。 推论 1.从（1）式可以看出，an是n的一次函数（d≠0）或常数函数（d=0）,(n,an)排在一条直线上，由（2）式知，Sn是n的二次函数（d≠0）或一次函数（d=0,a1≠0），且常数项为0。

2. 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2，…，n} 3.若m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。 4.其他推论 和=（首项+末项）*项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 首项=2和÷项数-末项 末项=2和÷项数-首项 末项=首项+（项数-1）*公差 等差中项 在等差数列中，等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar，所以Ar为Am,An的等差中项，且为数列的平均数。

且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。 [编辑本段]二、等差数列的应用： 日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别 时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。

若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。 其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了： 今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？ 书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。

这相当于给出了Sn=(a1+an)/2*n的求和公式 [编辑本段]三、等差数列的基本性质 ⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d. ⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd. ⑶若、为等差数列，则{ a ±b }与{ka +b}(k、b为非零常数)也是等差数列. ⑷对任何m、n ，在等差数列中有：a = a + (n-m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性. ⑸、一般地，如果l,k,p，…，m,n,r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当为等差数列时，有：a + a + a + … = a + a + a + … . ⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差). ⑺如果是等差数列，公差为d，那么，a ,a ，…，a 、a 也是等差数列，其公差为-d；在等差数列中，a -a = a -a = md .（其中m、k、） ⑻在等差数列中，从第一项起，每一项（有穷数列末项除外）都是它前后两项的等差中项. ⑼当公差d>0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d ⑽设a 1,a 2,a 3为等差数列中的三项，且a1 与a2 ,a 2与a 3的项距差之比 = d( d≠-1)，则2a2 = a1+a3. [编辑本段]四、等差数列前n项和公式S 的基本性质 ⑴数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式（其中a、b为常数）. ⑵在等差数列中，当项数为2n (n N )时，S -S = nd， = ；当项数为（2n-1） (n )时，S -S = a ， = . ⑶若数列为等差数列，则S ,S -S ,S -S ，…仍然成等差数列，公差为 . ⑷若两个等差数列、的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则 = . ⑸在等差数列中，S = a,S = b (n>m)，则S = (a-b). ⑹等差数列中， 是n的一次函数，且点（n， ）均在直线y = x + (a - )上. ⑺记等差数列的前n项和为S .①若a >0，公差d0，则当a ≤0且a ≥0时，S 最小. 等比数列 简介与公式 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

(1)等比数列的通项公式是：An=A1*q^(n-1) 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*)，当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点（n,an）是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 （2）求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n （ 即A-Aq^n） （前提：q≠ 1） 任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m) (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2，…，n} (4)等比中项：aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

（5）无穷递缩等比数列各项和公式： 无穷递缩等比数列各项和公式：对于等比数列 的前n 项和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项和。 [编辑本段]性质 ①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每 k项。

2.等比等差数列讲解,要系统,且性质要详细,方法归纳详细,尽量拓展

等差数列与等比数列 基础知识 1.数列的概念 定义1. 按照某一法则，给定了第1个数，第2个数，………，对于正整数有一个确定的数，于是得到一列有次序的数我们称它为数列，用符号表示。

数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。 定义2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。

定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即，这样的数列称为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即，这样的数列称为递减数列。 定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即，其中是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。

定义5.如果在数列中，项数与具有如下的函数关系：，则称这个关系为数列的通项公式。 2.等差数列 定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。

等差数列具有以下几种性质： （1）等差数列的通项公式：或； （2）等差数列的前项和公式：或； （3）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数； （4）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数； （5）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列； （6）设，是等差数列，则（是常数）也是等差数列； （7）设，是等差数列，且，则也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）； （8）若，则；特别地，当时，； （9）设，，，则有； （10）对于项数为的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，； （11）对于项数为的等差数列，有，； （12）是等差数列的前项和，则； （13）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则 ①.为等差数列，公差为； ②.（即）为等差数列，公差； ③.（即）为等差数列，公差为. 3.等比数列 定义7.一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母表示（），即。 等比数列具有以下性质： （1）等比数列的通项公式：或； （2）等比数列的前项和公式：； （3）等比中项：； （4）无穷递缩等比数列各项公式：对于等比数列的前项和，当无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项的和，记为，即； （5）设是等比数列，则（是常数），仍成等比数列； （6）设，是等比数列，则也是等比数列； （7）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）； （8）设是正项等比数列，则是等差数列； （9）若，则；特别地，当时，； （10）设，，，则有； （11）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则 ①.为等比数列，公比为； ②.（即）为等比数列，公比为； 典例分析 例1.设等差数列的首项与公差均为非负整数，项数不小于3，且各项之和为972，则这样的数列有_____________个。

解：设等差数列的首项为，公差为。由已知有，即。

又因为，所以只可能取，又因为且均为整数，故； 若，由于为正数，则，即，故，这时有或； 若，则，这时有或。

3.求高一数学等差和等比数列的知识对比列表

等差数列，等比数列的通项公式分别为an=a1+(n-1)d,an=a1*q^(n-1) 二、基本公式： 9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d （其中a1为首项、ak为已知的第k项） 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0）,Sn=na1是关于n的正比例式。 12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k （其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0） 13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 （是关于n的正比例式）； 当q≠1时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。

15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则 17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an bn}、、仍为等比数列。 20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 （为什么？） 24、{an}为等差数列，则 （c>0）是等比数列。

25、{bn}(bn>0)是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。 26. 在等差数列 中： （1）若项数为 ，则 （2）若数为 则， ， 27. 在等比数列 中： （1） 若项数为 ，则 （2）若数为 则， 四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

关键是找数列的通项结构。 28、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和：如an= 32、求数列{an}的最大、最小项的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② （an>0） 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= 33、在等差数列 中，有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解： （1）当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值. （2）当 0时，满足 的项数m使得 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。 裂项法求和 例题 1/1*4+1/4*7+1/7*10。

1/(3n-2)(3n+1) 怎么解这种不是n(n+1)的裂项法阿？ 解答 1/(3n-2)(3n+1) 1/(3n-2)-1/(3n+1)=3/(3n-2)(3n+1) 只要是分式数列求和，可采用裂项法 裂项的方法是用分母中较小因式的倒数减去较大因式的倒数，通分后与原通项公式相比较就可以得到所需要的常数 高三新数学（5）——数列 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=173613 高考数学第一轮复习单元试卷7-数列的求和 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=168353 高考数学第一轮复习单元试卷6-等差数列与等比数列 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=168352 高三数学第二轮专题（二）（数列、极限、数学归纳法） /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167870 高三数学第二轮课堂选择、填空专项训练（数列） /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167866 2006年全国各地高考试题分类解析（数列） /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167838 高考数学模拟新题集锦：第三部分 数列 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167747 高考数学第一轮总复习同步练习---数列作业 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167717 高考数学第一轮总复习同步练习---数列与函数的极限 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167716 高考数学第一轮总复习同步练习---数列的通项 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167712 高考数学第一轮总复习同步练习---数列的应用 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167714 高考数学第一轮总复习同步练习---数列的综合应用 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167715 高考数学第一轮总复习同步练习---数列的前n项和 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167711 高考数学第一轮总复习同步练习---数列的概念 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167710 高考数学第一轮总复习同步练习---第三章数列参考答案 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167662 高考数学第一轮总复习同步练习---等差数学列和等比数列（2） /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167660 高考数学第一轮总复习同步练习---等差数列和等比数列（3） /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167661 高考数学第一轮总复习同步练习---等差数列和等比数列（1） http://bbs.topsage。.。

4.等比数列的一些知识

一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母表示（），即。

等比数列具有以下性质：

(1)等比数列的通项公式：或；

(2)等比数列的前项和公式：；

(3)等比中项：；

(4)无穷递缩等比数列各项公式：对于等比数列的前项和，当无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项的和，记为，即；

(5)设是等比数列，则（是常数），仍成等比数列；

(6)设，是等比数列，则也是等比数列；

(7)设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；

(8)设是正项等比数列，则是等差数列；

(9)若，则；特别地，当时，；

(10)设，，，则有；

(11)其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则

①.为等比数列，公比为；

②.（即）为等比数列，公比为；