圆锥曲线与方程(求高中数学的知识点总结)
1.求高中数学的知识点总结
圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质： 1）椭圆 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程： 1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：（x^2/a^2）+(y^2/b^2)=1 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：（x^2/b^2）+(y^2/a^2)=1 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 参数方程： X=acosθ Y=bsinθ （θ为参数 ，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆 此时c=0，圆的acosθ=r） 2）双曲线 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。
标准方程： 1.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：（x^2/a^2）-(y^2/b^2)=1 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：（y^2/a^2）-(x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 参数方程： x=asecθ y=btanθ （θ为参数 ） 3）抛物线 标准方程： 1.顶点在原点，焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>0 2.顶点在原点，焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>0 3.顶点在原点，焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>0 4.顶点在原点，焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0 参数方程 x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ（tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0 直角坐标 y=ax^2+bx+c （开口方向为y轴， a0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴， a0 ） 圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为 ρ=ep/(1-e*cosθ) 其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。 二、焦半径 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。
圆锥曲线左右焦点为F1、F2，其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为： 椭圆 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex 双曲线 P在左支，|PF1|=-a-ex |PF2|=a-ex P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=-a+ex P在下支，|PF1|= -a-ey |PF2|=a-ey P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=-a+ey 抛物线 |PF|=x+p/2 三、圆锥曲线的切线方程 圆锥曲线上一点P(x0,y0)的切线方程 以x0x代替x^2，以y0y代替y^2；以（x0+x）/2代替x，以（y0+y）/2代替y 即椭圆：x0x/a^2+y0y/b^2=1； 双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1； 抛物线：y0y=p(x0+x) 四、焦准距 圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。 椭圆的焦准距：p=(b^2)/c 双曲线的焦准距：p=(b^2)/c 抛物线的准焦距：p 五、通径 圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦成为通径。
椭圆的通径：（2b^2）/a 双曲线的通径：（2b^2）/a 抛物线的通径：2p 六、圆锥曲线的性质对比 见下图： 七、圆锥曲线的中点弦问题 已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程 ⒈联立方程法。 用点斜式设出该弦的方程（斜率不存在的情况需要另外考虑），与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。
2.点差法，或称代点相减法。 设出弦的两端点坐标（x1,y1）和（x2,y2），代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减，运用平方差公式得[（x1+x2）·（x1-x2）]/(a^2)+[(y1+y2)·（y1-y2）/(b^2]=0 由斜率为（y1-y2）/(x1-x2)可以得到斜率的取值。
（使用时注意判别式的问题）。
2.求圆锥曲线与方程需要用到的知识
直线方程：1\过点（a,b），斜率为k，则直线为y-b=k(x-a)2\斜率为k，与y轴交点为（0,b），则直线为y=kx+b3\过两点（a,b）,(m,n)，则直线为（y-b）/(n-b)=(x-a)/(m-a)4\直线与两坐标轴交点分别为（a,0）,(0,b)，则直线为x/a+y/b=1 5\以上四种方式都可以整理为Ax+By+c=0的形式，A\B不同时为零.圆的方程：1\圆心为（a,b），半径为r，则圆为（x-a）^2+(y-b)^2=r^22\圆的一般方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(D^2+E^2-4F>0)。
3.求圆锥曲线与方程需要用到的知识
直线方程：
1\过点（a,b），斜率为k，则直线为y-b=k(x-a)
2\斜率为k，与y轴交点为（0,b），则直线为y=kx+b
3\过两点（a,b）,(m,n)，则直线为（y-b）/(n-b)=(x-a)/(m-a)
4\直线与两坐标轴交点分别为（a,0）,(0,b)，则直线为x/a+y/b=1
5\以上四种方式都可以整理为Ax+By+c=0的形式，A\B不同时为零.
圆的方程：
1\圆心为（a,b），半径为r，则圆为（x-a）^2+(y-b)^2=r^2
2\圆的一般方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(D^2+E^2-4F>0)
4.圆锥曲线的知识点及解题方法
解题思路：把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用韦达定理和一元二次方程的根的判别式和题目要求来做，这就是必须的。
解圆锥曲线问题常用以下方法：
1、定义法
(1)椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。
(2)双曲线有两种定义。第一定义中，，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1,r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
(3)抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2)，弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：
(1)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有。
(2)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有
(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0)，则有2y0k=2p，即y0k=p.
