数学上的证明方法(高中数学常用证明方法)
1.高中数学常用证明方法有哪些
1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法（简称为求差法）和商值比较法（简称为求商法）。 2.综合法利用已知事实（已知条件、重要不等式或已证明的不等式）作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
4.反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。 5.换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。（1）三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ（0≤r≤1）；③对于含有的不等式，由于|x|≤1，可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA,y=tanB,z=tanC，其中A+B+C=π。（2）增量换元法：在对称式（任意交换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如a>b>c等）的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t进行换元。 6.放缩法放缩法是要证明不等式A<B成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：（1）不等式的传递性；（2）等量加不等量为不等量；（3）同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：①舍掉（或加进）一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。
2.数学题证明方法
一、证明方法 设N为任一大于6的偶数，Gn为不大于N/2的正整数，则有： N=(N-Gn)+Gn (1) 如果N-Gn和Gn同时不能被不大于√N的所有质数整除，则N-Gn和Gn同时为奇质数。
设Gp(N)表示N-Gp和Gp同时为奇质数的奇质数Gp的个数，那么，只要证明： 当N>M时，有Gp(N)>1，则哥德巴赫猜想当N>M时成立。 二、双数筛法 设Gn为1到N/2的自然数，Pi为不大于√N的奇质数，则Gn所对应的自然数的总个数为N/2。
如N-Gn和Gn这两个数中任一个数被奇质数Pi整除，则筛去该Gn所对应的自然数，由此，被奇质数Pi筛去的Gn所对应的自然数的个数不大于INT(N/Pi)，则剩下的Gn所对应的自然数的个数不小于N/2-INT(N/Pi)，与Gn所对应的自然数的总个数之比为R(Pi): R(Pi)≥（N/2-INT(N/Pi))/(N/2)≥（1-2/Pi）*INT((N/2)/Pi)/((N/2)/Pi) (2) 三、估计公式 由于所有质数都是互质的，可应用集合论中独立事件的交积公式，由公式（2）可得任一偶数表为两个奇质数之和的表法的数量的估计公式： Gp(N)≥（N/4-1）*∏R(Pi)-1≥（N/4-1）*∏（1-2/Pi）*∏（1-2Pi/N）-1 (3) 式中∏R(Pi)表示所有不大于√N的奇质数所对应的比值计算式的连乘。 四、简单证明 当偶数N≥10000时，由公式（3）可得： Gp(N)≥（N/2-2-∑Pi）*(1-1/2)*∏（1-2/Pi）-1 ≥（N-2*√N）/8*(1/√N)-1=（√N-2）/8-1≥11>1 (4) 公式（4）表明：每一个大于10000的偶数表为两个奇质数之和至少有11种表法。
经验证明：每一个大于4且不大于10000的偶数都可表为两个奇质数之和。 最后结论：每一个大于4的偶数都可表为两个奇质数之和。
3.初中数学证明技巧
要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。
下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 *9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
*12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。
二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 *6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。 10.等于同一角的两个角相等。
三、证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。 *10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
*11.利用半圆上的圆周角是直角。 四、证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
五、证明线段的和差倍分 1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。 2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。 4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。 六、证明 角的和差倍分 1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分线的定义。 3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
七、证明线段不等 1.同一三角形中，大角对大边。 2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。 6.全量大于它的任何一部分。
八、证明两角的不等1.同一三角形中，大边对大角。 2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。 *4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。
5.全量大于它的任何一部分。 九、证明比例式或等积式 1.利用相似三角形对应线段成比例。
2.利用内外角平分线定理。 3.平行线截线段成比例。
4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。 *5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。
6.利用比利式或等积式化得。 十、证明四点共圆*1.对角互补的四边形的顶点共圆。
*2.外角等于内对角的四边形内接于圆。 *3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。
*4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。 *5.到顶点距离相等的各点共圆 希望对你有所帮助，祝您学习进步。
