定理(中国剩余定理的典故)
1.中国剩余定理的典故
“ 中国古代数学有着辉煌的成就，今天大小吴将为大家介绍在中国数学史上非常著名的中国剩余定理。
1 韩信点兵问题 这个问题首先要从一个叫做“韩信点兵”的故事说起。秦末时期，楚汉相争，汉初三杰之一的韩信有一次带1500名兵士打仗，战死四五百人。
为了统计剩余士兵的个数，韩信令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。韩信据此很快说出人数：1049人。
汉军本来就十分信服韩信大将军，经此之后就更加相信韩信是“天神下凡，神机妙算"，于是士气大振，鼓声喧天，在接下来的战役中汉军步步紧逼，楚军乱作一团，大败而逃。韩信由此名扬天下，被后世誉为“兵仙“，“神帅”。
那么韩信是如何快速算出士兵人数的呢？韩信点兵问题可以用现代数学语言描述如下：若士兵人数是，则有除以3余2，除以5余4，除以7余6.我们也可以用同余式来表示这个问题：我们发现，若将，则可以同时被3、5、7整除，即 所以一定是3、5、7的最小公倍数的整数倍，由于3、5、7两两互素，则 所以 即 其中是正整数，当时 这样，韩信就计算出了剩余士兵的人数。2 孙子算经与物不知数问题 实际上，这类问题就是在求解初等数论中的同余方程组。
在数学史上韩信点兵问题也被称为物不知数问题，最早记载于一千多年前的《孙子算经》中：“ 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？转化为现代数学语言，即解整数满足的同余式 这个问题和上文所说的韩信点兵问题类似，但是，它不具备上一个问题那么好的性质，因为无论使加上或减去一个数，都无法同时被3、5、7整除。那么，这个问题该如何解决呢？宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。
明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：“ 三人同行七十稀，五树梅花廿一支（二十一），七子团圆正半月，除百零五使得知。这首诗的意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后除以105得到的余数就是答案。
根据这个算法，可得：因此物不知数问题的最小正整数解即为，事实上，23确实满足除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个问题的通解为 其中是自然数。3 中国剩余定理 对于这个问题，如果是一般情况，该如何处理呢？例如，有同余式：我们把这个问题分解成三个同余式方程组 那么初始问题就有最小正整数解 因此只要能找到满足条件的即可。
以为例，由同余式可得，因此 所以存在使得 因此 其中的存在性可以证明，因为有如下定理：“ 若，则必然存在使得 对于这个定理的证明，可以考虑集合中的最小正整数，只要证明这个最小正整数就是1即可。考虑其中最小的正整数，，只需证明且，由于互素，所以只能为1.这件事可以用反证法证明：若不能整除，则必有 因此 因此余数也可以表示成一个整数乘以加上另一个整数乘以的形式，又因为是小于的，这就和最开始的假设是最小的正整数相矛盾了，因此必有 因此存在性得证。
事实上这样的不仅存在，而且也比较好寻找，其中70就是既能被5、7同时整除又能除以3余1的最小正整数，所以，同理可得，，因此这类问题就有了通解：原来上面的古诗中出现的70、21、15这三个数是这么来的！一般来讲，给定个不同的素数，则同余方程组 一定是有解的，求解这个问题只需构造基础解系：因此有 因为都是素数，因此的存在性是显然的。求解上述问题的过程与方法就称为“中国剩余定理”，又称为“孙子定理”。
中国剩余定理的传播最早在1852年由英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲。1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，成为了初等数论中非常重要的一个定理。
2.墨菲定律的典故及详细内容
墨菲定律（Murphy's Law），亦称莫非定律、莫非定理、或摩菲定理，是西方世界常用的俚语。墨菲定律主要内容是：事情如果有变坏的可能，不管这种可能性有多小，它总会发生。比如你衣袋里有两把钥匙，一把是你房间的，一把是汽车的，如果你现在想拿出车钥匙，会发生什么？是的，你往往是拿出了房间钥匙。
“墨菲法则”、“派金森定理”和“彼得原理”并称为二十世纪西方文化中最杰出的三大发现。知道是谁发现了这个定律吗？你能相信它不是由哲学家、牧师、文学家或是科学家创造，而是一名工程师的即兴发挥吗？
爱德华·墨菲（Edward A. Murphy）是一名工程师，他曾参加美国空军于 1949年进行的MX981实验。这个实验的目的是为了测定人类对加速度的承受极限。其中有一个实验项目是将16个火箭加速度计悬空装置在受试者上方，当时有两种方法可以将加速度计固定在支架上，而不可思议的是，竟然有人有条不紊地将16个加速度计全部装在错误的位置。于是墨菲作出了这一著名的论断，并被那个受试者在几天后的记者招待会上引用。
几个月后这一“墨菲定律”被广泛引用在与航天机械相关的领域。经过多年，这一“定律”逐渐进入习语范畴，其内涵被赋予无穷的创意，出现了众多的变体，其中最著名的一条也被称为 Finagle's Law（菲纳格定律），具体内容为：If anything can go wrong, it will.（会出错的，终将会出错。）。这一定律被认为是对"墨菲定律"最好的模仿和阐述。 墨菲定律（Murphy's Law）缘于美国一位名叫墨菲的上尉。他认为他的某位同事是个倒霉蛋，不经意说了句笑话：“如果一件事情有可能被弄糟，让他去做就一定会弄糟。”
这句话迅速流传。经过多年，这一“定律”逐渐进入习语范畴，其内涵被赋予无穷的创意，出现了众多的变体，“如果坏事有可能发生，不管这种可能性多么小，它总会发生，并引起最大可能的损失”、“If anything can go wrong, it will.（会出错的，终将会出错）”、“笑一笑，明天未必比今天好。”“东西越好，越不中用”、“别试图教猪唱歌，这样不但不会有结果，还会惹猪不高兴！”
墨菲定律的原句是这样的：If there are two or more ways to do something, and one of those ways can result in a catastrophe, then someone will do it.（如果有两种选择，其中一种将导致灾难，则必定有人会作出这种选择。）
“墨菲定律”诞生于20世纪中叶，这正是一个经济飞速发展，科技不断进步，人类真正成为世界主宰的时代。在这个时代，处处弥漫着乐观主义的精神：人类取得了对自然、对疾病以及其他限制的胜利，并将不断扩大优势；我们不但飞上了天空，而且飞向太空……我们能够随心所欲地改造世界的面貌，这一切似乎昭示着：一切问题都是可以解决的。无论是怎样的困难和挑战，我们总能找到一种办法或模式战而胜之。
3.关于勾股定理的小故事
在中国古代大约是西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？
商高说：“故折矩以为勾广三，股修四，经隅五。”
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高答话的意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”。
扩展资料：
最早应用：
从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远？”
他们解此题就是用了勾股定理， 设AB=CD=l=5米，BC=a,AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米 ∵a=√[l2-(l-h)2]=√[52-(5-1)2]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股三角形。
《周髀算经》中勾股定理的公式与证明 《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是中国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。
首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二） 而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一—— 昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”
商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。” 周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。
参考链接：勾股定理的逆定理-百度百科勾股定理-百度百科
4.请问关于费尔马定理的有趣故事是什么
费尔马是一个十分活跃的业余数学家，喜欢和别人通信讨论数学问题。
他差不多和同时代的数学家都通过信，受到人们的敬重。 费尔马经常提出一些难题，寄给熟人，请他们解答，然后再把这些解答与自己的解答对照。
他提出的猜想，有被否定掉的；但是他证明过的定理，却从没有被推翻过。其中，不少成了后来书上的重要定理。
费尔马在数论上作过杰出贡献。例如，他发现并证明了一个很重要的基本定理： P-1 若P为素数，正整数a不能被P整除，那么a -1这个数，一定能够被P整除。
这个定理叫做费尔马定理或者费尔马小定理。1640年，当费尔马证完这个定理后，兴奋地写信告诉他的朋友说：“我浸浴在阳光中！这个定理按其在数论和近世代数中的重要性来说，的确是值得称道的。
6 比如我们要考察5-1这个数能不能被7整除，根据费尔马小定理，由于 6 7-15-1=5-1，所以知道它一定能被7整除。事实也正是这样。
6 5-1=15624=7*2232。 100 因为这个数小，所以可以写出来判断。
如果是问1981-1能不能被101整除，就不好算出来看了，但是根据 100 101 1981-1=1981-1-1， 所以可以保险这个数能被101整除。1621年，20岁的费尔马，在巴黎买了一本丢番都的《算术学》的法文译本。
不知他在什么时候，在书中关于不 2 2 2定方程x+y=z的全部正整数解的这一页上，用拉丁文写了这么一段话： “任何一个数的立方，不能分解为两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分解成两个数的四次方之和；一般来说，任何次幂，除平方以外，不可能分解成其他两个同次幂之和。我想出了这个断语的绝妙证明，是书上这空白太窄了，不容我把证明写出来。”
在自己的书上空白处写心得，是一些人的读书习惯，通常叫作“页端笔记”。费尔马的这段页端笔记，用数学的语言来表达就是：形如 n n n x+y=z的方程，当n大于2时，不可能有正整数解。
费尔马虽然在数学上有很多重大成就，但是他生前几乎没有出版过什么数学著作。他的著作大都是在他死后，由他的儿子，把他的手搞和与别人往来的书信整理出版的。
费尔马死后，有人翻阅他的那本丢番都的书，发现了那段写在书眉上的话。1670年，他的儿子出版了费尔马里的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。
后来，人们就把这一论断，称为费尔马大定理或者费尔马问题。 哥德巴赫猜想 哥德巴赫本来是普鲁士派往俄罗斯的一位公使。
后来，他成了一名数学家。 哥德巴赫和费尔马一样，很喜欢和别人通信讨论数学问题。
不过，他在数学上的成就和声望，远远不如费尔马，有的人甚至认为他不是数学家。其实，有资料说，他是彼得堡科学院院士。
哥德巴赫与另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉经常通信。他们有15年以上的通信历史，经常讨论的是数学问题。
1742年6月7日，哥德巴赫写信告诉欧拉，说他想冒险发表一个猜想： “大于5的任何数是三个素数的和。”这里要顺便交待一句，有一个时期，人们把1看成是特殊的素数；后来，才像今天这样，把1与素数严格区别开来。
同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说，他认为：“每一个偶数都是两个素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的。” 这次通信的内容传播出来后，当时数学界把他们两人通信中谈到的问题，叫做哥德巴赫问题。
后来，它被归纳为： 命题A：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和； 命题B：每一个大于或者等于9个奇数，都可以表示为三个奇素数的和。 这就是今天我们所说的哥德巴赫猜想，实际上，应该是哥德奇巴赫——欧拉猜想。
比如 50=19+31,51=7+13+31 52=23+29,53=3+19+31 当然，表示方法可能是很多的。比如 50=3+47=7+43=13+37=19+31 很明显，如果命题A成立，那么，命题B也就成立。
因为假设N是大于或者等于9的奇数，那么，N-3就是大于或者等于6的偶数。命题A成立，就是存在着奇素数P与P，使得N-3=P+P，这就是N=3+P+P，就像前面的 1 2 1 2 1 250与53的关系一样。
但反过来，如果证明了命题B成立，并不能保证命题A就一定成立。 19世纪的很多大数学家，都研究过哥德巴赫猜想，但是进展不大。
1900年，希尔伯特在巴黎国际数学家会议上，提出了23个研究题目，这就是有名的希尔伯特问题，可以说这是23个大难题。哥德巴赫猜想命题A，与另外两个有关的问题一起，被概括为希尔伯特第八问题。
到了1912年，在第五届国际数学会议上，著名的数论大师兰道发言说，哥德巴赫问题即使改成较弱的命题C，也是现代数学家所力不能及的。 命题C意思是：不管是不超过3个，还是不超过30个，只要你想证明存在着一个这样的正数c，而能“使每一个大于或等于2的整数，都可以表示为不超过c个素数之和”。
过了9年，到了1921年，著名数论大师哈代在哥本哈根召开的国际数学会上说：哥德巴赫猜想的困难程度，可以与任何没有解决的数学问题相比拟。哈代也认为是极其困难的，但是不像兰道说得那样绝对。
1930年，苏联25岁的数学家西涅日耳曼，用他创造的“正密率法”，证明了兰道说的那个现代数学家力不能及的命题C，还估算了这个数c不会超过S，并算出S≤。
5.关于勾股定理的故事
勾股定理趣事
学过几何的人都知道勾股定理.它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛.迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种.其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话.
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的.事情的经过是这样的；
勾股的发现
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干 什么？
只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀.”小男孩又问道： “如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，
勾股的证明
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的.至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线。
正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 —— 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对勾股定理的说明。希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里。
尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理。
2002年的世界数学家大会在中国北京举行，这是21世纪数学家的第一次大聚会，这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案，可以说是充分表现了我国古代数学的成就，也充分弘扬了我国古代的数学文化，另外，我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权，这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定。
今天，世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图，它在国外被称为“唐图”（Tangram），意思是中国图（不是唐代发明的图）。七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》，其中有正方形切割术，并由之证明了勾股定理。而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形，即弦图，还不是七巧板。现在的七巧板是经过一段历史演变过程的。
勾股趣事
甚至还有人提出过这样的建议：在地球上建造一个大型装置，以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命，最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形，可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上，因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理，所以用它来做标志最容易被外来者所识别！？
有趣的是：除了三元二次方程x2 + y2 =z2（其中x、y、z都是未知数）有正整数解以外，其他的三元n次方程xn + yn =zn(n为已知正整数，且n>2)都不可能有正整数解。这一定理叫做费尔马大定理（费尔马是17世纪法国数学家）。
6.有关勾股定理的历史故事
两千六百多年前，埃及有个国王，想要知道已经盖好了的大金字塔的确实高度，可是谁也不知道该怎样测量。
人爬到顶上去吧，不可能。因为塔身是斜的，就是爬上去了，又用什么方法来测量呢？
后来，国王请到了一个名叫法列士的学者来设法解决这个问题。发烈士答应了，他选择了一个风和日暖的日子，在国王，祭祀们的亲自驾临下，举行了测塔仪式。
看热闹的人当然不少，人们拥挤着，议论着。看时间已经不早，太阳光给每个在场的人和巨大的金字塔都投下了长长的影子。当发列士确知他自己的影子等于他的身高时，他发出了测塔命令：这时，助手们立即测出了金字塔阴影长度DB。接着法烈士十分准确地算出了金字塔的高度。
在那个时候，大家都非常佩服发列士的聪明！
可不是吗？发列士的确了不起，因为他在两千多年以前，就已经应用几何学里的相似形原理来测算金字塔的高度，而现在我们的几何学——欧几里德几何，还是在发列士以后许多年，由希腊学者欧几里德创立起来的呢。
7.收集十个关于坐标系 勾股定理 实数等相关数学家的典故及数学故事
我们现在所用的直角坐标系，通常叫做笛卡儿直角坐标系。是从笛卡儿 （Descartes R.,1596.3.31~1650.2.11）引进了直角坐标系以后，人们才得以用代数的方法研究几何问题，才建立并完善了解析几何学，才建立了微积分。
法国数学家拉格朗日（Lagrange J.L.,1736.1.25~1813.4.10）曾经说过："只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是，当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力。从那以后，就以快速的步伐走向完善。"
我国数学家华罗庚（1910.11.12~1985.6.12）说过："数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。形数结合百般好，隔裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！"
笛卡儿的坐标系不同于一个一般的定理，也不同于一段一般的数学理论，它是一种思想方法和技艺，它使整个数学发生了崭新的变化，它使笛卡儿成为了当之无愧的现代数学的创始人之一。
中国数学家。东汉末至三国时代人。生平不详，约生活于公元3世纪初。字君卿，东吴人。据载，他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过“算术”。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周牌算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。它记述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”
8.数学家发现定律或公式的故事
牛顿（Newton 1643-1727）牛顿是生活在地球上的影响最大的科学家之一。
他是遗腹子，生于伽利略逝世的那一天。 牛顿少年时代即表现出手工制作精巧机械的才能。
虽然他是个聪明伶俐的孩子，但并未引起他的老师们的注意。 成年时，母亲令其退学，因为希望儿子成为一名出色的农夫。
十分幸运的是他的主要天赋不满足于他在农业方面发挥，因此，他18岁时入剑侨大学，极快地通晓了当时已知的自然与数学知识，之后转入个人的专门研究。 自21岁至27岁，奠定了某些学科理论基础，导致以后世界上的一次科学革命。
他的第一个轰动科学世界的发现就是光的本质。经过—系列的严格试验，牛顿发现普通白光是由七色光组成的。
经过—番光学研究，制造了第一架反射天文望远镜；这架天文望远镜一直在天文台使用到今天。 莱布尼茨曾说：“在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半。”
的确，牛顿除了在天文及物理上取得伟大的成就，在数学方面，他从二项式定理到微积分，从代数和数论到古典几何和解析几何、有限差分、曲线分类、计算方法和逼近论，甚至在概率论等方面，都有创造性的成就和贡献。 牛顿在数学上的成果要有以下四个方面： 发现二项式定理 在一六六五年，刚好二十二岁的牛顿发现了二项式定理，这对於微积分的充分发展是必不可少的一步。
二项式定理把能为直接计算所发现的 等简单结果推广如下的形式 二项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具。在今天我们会发觉这个方法只适用於n是正整数，当n是正整数1,2,3，级数终止在正好是n+1项。
如果n不是正整数，级数就不会终止，这个方法就不适用了。但是我们要知道那时，莱布尼茨在一六九四年才引进函数这个词，在微积分早期阶段，研究超越函数时用它们的级来处理是所用方法中最有成效的。
创建微积分 牛顿在数学上最卓越的成就是创建微积分。他超越前人的功绩在於，他将古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法--微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，如：面积计算可以看作求切线的逆过程。
那时莱布尼兹刚好亦提出微积分研究报告，更因此引发了一埸微积分发明专利权的争论，直到莱氏去世才停熄。而后世己认定微积是他们同时发明的。
微积分方法上，牛顿所作出的极端重要的贡献是，他不但清楚地看到，而且大赡地运用了代数所提供的大大优越於几何的方法论。他以代数方法取代了卡瓦列里、格雷哥里、惠更斯和巴罗的几何方法，完成了积分的代数化。
从此，数学逐渐从感觉的学科转向思维的学科。 微积产生的初期，由於还没有建立起巩固的理论基础，被有受别有用心者钻空子。
更因此而引发了着名的第二次数学危机。这个问题直到十九世纪极限理论建立，才得到解决。
引进极坐标，发展三次曲线理论 牛顿对解析几何作出了意义深远的贡献，他是极坐标的创始人。第一个对高次平面曲线进行广泛的研究。
牛顿证明了怎样能够把一般的三次方程 所代表的一切曲线通过标轴的变换化为以下四种形式之一： 在《三次曲线》一书牛顿列举了三次曲线可能的78种形式中的72种。这些中最吸引人；最难的是：正如所有曲线能作为圆的中心射影被得到一样；所有三次曲线都能作为曲线 的中心射影而得到。
这一定理，在1973年发现其证明之前，一直是个谜。 牛顿的三次曲线奠定了研究高次平面线的基础，阐明了渐近线、结点、共点的重要性。
牛顿的关於三次曲线的工作激发了关於高次平面曲线的许多其他研究工作。 推进方程论，开拓变分法 牛顿在代数方面也作芔了经典的贡献，他的《广义算术》大大推动了方程论。
他发现实多项式的虚根必定成双出现，求多项式根的上界的规则，他以多项式的系数表示多项式的根n次幂之和公式，给出实多项式虚根个数的限制的笛卡儿符号规则的一个推广。 牛顿在还设计了求数值方程的实根近似值的对数和超越方程都适用的一种方法，该方法的修正，现称为牛顿方法。
牛顿在力学领域也有伟大的发现，这是说明物体运动的科学。第—运动定律是伽利略发现的。
这个定律阐明，如果物体处于静止或作恒速直线运动，那么只要没有外力作用，它就仍将保持静止或继续作匀速直线运动。这个定律也称惯性定律，它描述了力的一种性质：力可以使物体由静止到运动和由运动到静止，也可以使物体由一种运动形式变化为另一种形式。
此被称为牛顿第一定律。力学中最重要的问题是物体在类似情况下如何运动。
牛顿第二定律解决了这个问题；该定律被看作是古典物理学中最重要的基本定律。牛顿第二定律定量地描述了力能使物体的运动产生变化。
它说明速度的时间变化率（即加速度a与力F成正比，而与物体的质量里成反比，即a=F/m或F=ma；力越大，加速度也越大；质量越大，加速度就越小。力与加速度都既有量值又有方向。
加速度由力引起，方向与力相同；如果有几个力作用在物体上，就由合力产生加速度，第二定律是最重要的，动力的所有基本方程都可由它通过微积分推导出来。 此外，牛顿根据这两个定律制定出第三定律。
牛顿第三定。
