指数函数和对数函数是高中函数考查的重点,在近期的上课过程中发现大家对知识点掌握和题型的识别还是不太好,我再做一个总结。
1、指数和对数的运算
指数和对数的运算是学习指数函数和对数函数的基础,在初中我们接触了一些指数和对数的运算法则,但是在高中阶段我们对纯粹的计算要求不高,但是应用很多的,所以必须记住相应的计算法则,和一些常用的特殊值如 这样的恒等式,对解答本部分题目用处很大,也对我们接指数对数方程和不等式用处很大。
2、指数函数和对数函数
指数函数和对数函数是高考考查的重点,必须记住常见的指对数函数,
如 还有两个特殊的
利用这些函数记住相应的函数的性质和图像,这部分题目考查有函数过定点,函数值得大小比较,函数的图像变换等等
3、指数方程,对数方程及其不等式
这是我们在解题过程中常用到的,也是由函数的单调性得到的函数的一类应用问题,化成同底是解决这类问题的关键,方程就要注意特殊值,不等式就要注意函数的单调性,但是对于对数函数来说的话,必须注意定义域的限制!
4、指数型和对数型的复合函数
复合函数的求值,复合函数的单调性等都是考查的重点,所以必须熟悉常见的复合函数的处理方法,复合函数的单调性的判断法则等。对数型复合函数是考查的重点,因为涉及到定义域问题是学生最最容易出现的问题,所以应该明白为什么上课的时候总是在强调函数问题在处理的时候一定要定义域优先了!
5、指数函数和对数函数的关系
指数函数和对数函数互为反函数,图像关于直线 对称,把握住这两点就没有问题了,像2013年的陕西文科的最后一道题的第一问就涉及到指数函数的反函数问题,其实就是所对应的对数函数而已!
总之函数的学习一定要注意归纳题型和方法,总结解题的常见思路和方法,从而慢慢的掌握解题的思路和方法,解题是一个复杂的过程,还是需要多多的练习了!
宝贝,如果有帮到您,请给予采纳和好评哦,谢谢拉#^_^#祝您学习快乐。
指数函数和对数函数是高中函数考查的重点,在近期的上课过程中发现大家对知识点掌握和题型的识别还是不太好,我再做一个总结。
1、指数和对数的运算 指数和对数的运算是学习指数函数和对数函数的基础,在初中我们接触了一些指数和对数的运算法则,但是在高中阶段我们对纯粹的计算要求不高,但是应用很多的,所以必须记住相应的计算法则,和一些常用的特殊值如 这样的恒等式,对解答本部分题目用处很大,也对我们接指数对数方程和不等式用处很大。2、指数函数和对数函数指数函数和对数函数是高考考查的重点,必须记住常见的指对数函数,如 还有两个特殊的利用这些函数记住相应的函数的性质和图像,这部分题目考查有函数过定点,函数值得大小比较,函数的图像变换等等3、指数方程,对数方程及其不等式这是我们在解题过程中常用到的,也是由函数的单调性得到的函数的一类应用问题,化成同底是解决这类问题的关键,方程就要注意特殊值,不等式就要注意函数的单调性,但是对于对数函数来说的话,必须注意定义域的限制!4、指数型和对数型的复合函数复合函数的求值,复合函数的单调性等都是考查的重点,所以必须熟悉常见的复合函数的处理方法,复合函数的单调性的判断法则等。
对数型复合函数是考查的重点,因为涉及到定义域问题是学生最最容易出现的问题,所以应该明白为什么上课的时候总是在强调函数问题在处理的时候一定要定义域优先了!5、指数函数和对数函数的关系指数函数和对数函数互为反函数,图像关于直线 对称,把握住这两点就没有问题了,像2013年的陕西文科的最后一道题的第一问就涉及到指数函数的反函数问题,其实就是所对应的对数函数而已!总之函数的学习一定要注意归纳题型和方法,总结解题的常见思路和方法,从而慢慢的掌握解题的思路和方法,解题是一个复杂的过程,还是需要多多的练习了!宝贝,如果有帮到您,请给予采纳和好评哦,谢谢拉#^_^#祝您学习快乐。
指数函数是数学中重要的函数。
应用到值 e上的这个函数写为 exp(x)。还可以等价的写为 e,这里的 e是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于 2.718281828,还称为欧拉数。
当a>1时,指数函数对于 x的负数值非常平坦,对于 x的正数值迅速攀升,在 x等于 0 的时候等于 1。当0 作为实数变量 x的函数,y=e^x 的图像总是正的(在 x轴之上)并递增(从左向右看)。
它永不触及 x轴,尽管它可以任意程度的靠近它(所以,x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x),它定义在所有正数 x上。
有时,尤其是在科学中,术语指数函数更一般性的用于形如 kax 的 指数函数函数,这里的 a 叫做“底数”,是不等于 1 的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数 e 的指数函数。
指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R),从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得 如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 在函数y=a^x中可以看到: (1) 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑, 同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3) 函数图形都是下凸的。
(4) a大于1时,则指数函数单调递增;若a小于1大于0,则为单调递减的。 (5) 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过 指数函数程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
(7) 函数总是通过(0,1)这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b) (8) 显然指数函数无界。 (9) 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
(10)当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。 (11)当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数。
编辑本段公式推导 e的定义:e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828。 设a>0,a!=1----(log a(x))' =lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx) =lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x)) =lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx))) =1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx))) =1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx)) =1/x*log a(e)特殊地, 当a=e时, (log a(x))'=(ln x)'=1/x。
设y=a^x两边取对数ln y=xln a两边对求x 导y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a特殊地, 当a=e时,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。 编辑本段函数图像 指数函数(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。
(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。 (3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。
(如右图)》。 编辑本段幂的比较 比较大小常用方法:(1)比差(商)法:(2)函数单调性法;(3)中间值法:要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意: (1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。 例如:y1=3^4,y2=3^5,因为3大于1所以函数单调递增(即x的值越大,对应的y值越大),因为5大于4,所以y2大于y1。
(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可 指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。 例如:y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减;3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过(0,1)然后随着x的增大,y1图像下降,而y2上升,在x等于4时,y2大于y1. (3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较。
如: 对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。 在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小),就可以快速的得到答案。
那么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向(例如: a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0)时,a^x大于1,异向时a^x小于1. 〈3〉例:下列函数在R上是增函数还是减函数?说明理由. ⑴y=4^x 因为4>1,所以y=4^x在R上是增函数; ⑵y=(1/4)^x 因为0编辑本段定义域 指代一切实数(-∞,+∞),就是R。
编辑本段值域 对于一切指数函数y=a^x来讲。他的a满足a>0且a≠1,即说明y>0。
所以值域为(0,+∞)。a=1时也可以,此时值域恒为1。
编辑本段化简技巧 (1)把分子、分母分解因式,可约分的先约分 (2)利用公式的基本性质,化繁分式为简分式,化异分母为同分母 (3。
二、函数的有关概念1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意:1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)2.值域 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . (2) 画法A、描点法:B、图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4.区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示.5.映射一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f:A→B6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.补充:复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。二.函数的性质1.函数的单调性(局部性质)(1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意:函数的单调性是函数的局部性质;(2) 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法:○1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;○2 作差f(x1)-f(x2);○3 变形(通常是因式分解和配方);○4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);○5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.(2).奇函数一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤:○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;○2确定f(-x)与f(x)的关系;○3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .9、函数的解析表达式(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.(2)求函数的解析式的主要方法有:1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值○2 利用图象求函数的最大(小)值○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);例题:1.求下列函数的定义域:⑴ ⑵ 2.设函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为_ _ 3.若函数 的定义域为 ,则函数 的定义域是 4.函数 ,若 ,则 = 6.已知函数 ,求函数 , 的解析式7.已知函数 满足 ,则 = 。
8.设 是R上的奇函数,且当 时, ,则当 时 = 在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间:⑴ (2) 10.判断函数 的单调性并证明你的结论.11.设函数 判。
原发布者:逍遥无谨
指数函数图像和性质天津市塘沽一中阚学雯运用新课标的理念,从以下几个方面加以说明:教材分析教学目标分析教法学法分析教学过程分析一、教材分析•教材的地位和作用函数是高中数学学习的重点和难点,函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上,进一步研究指数函数,以及指数函数的图象与性质。它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识,使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法,同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用,研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此,本节课的内容十分重要,它对知识起到了承上启下的作用。教材分析•重难点分析•教学重点:指数函数的图像、性质及其简单运用•教学难点:指数函数图象和性质的发现过程,及指数函数图像与底的关系。教材分析•课前准备通过课前思考题让n-3-2-10123问题引领学生自觉地投入对新知识的探究2n之中。3n1.若n∈R时,an总有n1意义,求α的范围?2.计算并完成以下表格,2n1观察表格,你发现了3什么规律?二、教学目标分析•知识目标(直接性目标):理解指数函数的定义,掌握指数函数的图像、性质及其简单应用•能力目标(发展性目标):通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力,体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到
这本来就是个抽象的东西
建议不要一味的试图去想完全理解是什么意思
先强制性死记概念,规定lnx就是自然对数,它是以e=2.71828.。。lnx=lgx/lge
你如果非要问为什么,那就相当于问:我为什么叫???
由指数函数定义/公式和幂函数定义/公式:
指数函数y=a^x
幂函数y=x^a
根本区别就在于自变量的不同,因此也会涉及到许多各自的特点。
因为要讨论它们的性质时,必须具有普遍性,所以就没有把常数a指定为一个具体的数字,你可以在理解其性质时,把具有代表性的常数写上去,一个一个的去理解,这不失为一种解决你问题的一个好的办法。
下面粘贴过来关于幂函数性质的一个总结,其他的你可以在站内搜索,一定可以找到很多答案。
幂函数的一般形式为y=x^a。
如果a取非零的有理数是比较容易理解的,不过初学者对于a取无理数,则不太容易理解,在我们的课程里,不要求掌握如何理解指数为无理数的问题,因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。
对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:
首先我们知道如果a=p/q,且p/q为既约分数(即p、q互质),q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:
排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数;
排除了为0这种可能,即对于x<0或x>0的所有实数,q不能是偶数;
排除了为负数这种可能,即对于x为大于或等于0的所有实数,a就不能是负数。
总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:
如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数,0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,
必须指出的是,当x<0时,幂函数存在一个相当棘手的内在矛盾:[x^(a/b)]^(c/d)、[x^(c/d)]^(a/b)、x^(ac/bd)这三者相等吗?若p/q是ac/bd的既约分数,x^(ac/bd)与x^(p/q)以及x^(kp/kq)(k为正整数)又能相等吗?也就是说,在x<0时,幂函数值的唯一性与幂指数的运算法则发生不可调和的冲突。对此,现在有两种观点:一种坚持通过约定既约分数来处理这一矛盾,能很好解决幂函数值的唯一性问题,但米指数的运算法则较难维系;另一种观点则认为,直接取消x<0这种情况,即规定幂函数的定义域为[0,+∞)或(0,+∞)。看来这一问题有待专家学者们认真讨论后予以解决。
因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到:
(1)所有的图形都通过(1,1)这点.(a≠0)
(2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。
(3)当a大于1时,幂函数图形下凸;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。
(4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。
(5)显然幂函数无界限。
(6) a=0,该函数为偶函数 {x|x≠0}
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多做练习,有时一时不理解不要着急,慢慢就习惯了
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