1.圆的定义 圆的定义有两个: 其一:平面上到定点 的距离等于定长的所有点所组成的图形叫圆。
其二:平面上一条线段,绕它固定的一个端点O旋转360°,它的另一端留下的轨迹叫圆。2.圆的其他相关量 ①圆心与半径:(如定义)固定的端点O即为圆心,用字母 来表示,记作⊙O;定义中的定长即为半径,用字母r表示;②弦与直径:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。
圆中最长的弦为直径;③圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧;④圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;⑤等圆:能够重合的两个圆叫做等圆。3.垂径定理及其推论 ①定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
②推论(四条) 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧; 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧; 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。4.圆心角与圆周角 (1)定义 ①圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角;②圆周角:顶点在圆上,且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
(2)定理及推论 ①圆心角 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。推论一:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等;推论二:在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等。
②圆周角 定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论一:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径;推论二:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等;推论三:圆内接四边形的对角互补。
5.点与圆的位置关系 (1)点和圆的位置关系 点和圆的位置关系相对较为简单,可分为三种情况:圆内、圆上和圆外。 一般情况下,判断点和圆的位置关系,以点到圆心的距离和圆半径之间的大小为依据,假设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,则点P与⊙O的位置关系可表示如下:点P 在⊙O 外 等价于d >r 点P 在⊙O 上 等价于d =r 点P 在⊙O 内 等价于d (2)不在同一直线上的三个点确定一个圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。
根据这一定理,我们可以经过任意三角形的三个顶点做一个圆,这个圆就叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做该三角形的外心。(3)反证法 不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立。
这种证明方法就叫做反证法。6.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系可分为三种:相交、相切和相离,详述如下:(1)相交 直线和圆有两个公共点,则直线与圆相交,这条直线叫做圆的割线。
(2)相切 直线和圆只有一个公共点,则直线与圆相切,该直线叫做圆的切线,该公共点叫做切点。(3)相离 即直线和圆没有公共点。
假设⊙O 的半径为r ,直线l 到圆心O 的距离为d ,根据上述定义,可以得到:直线l 和⊙O 相交 等价于d 直线l 和⊙O 相切 等价于d =r 直线l 和⊙O 相离 等价于d >r 7.关于切线的定理 (1)切线的定义 如果一条直线和圆只有一个公共点,那么这条直线和圆相切,直线就叫做圆的切线,公共点即为切点。(2)切线判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(3)切线性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。(4)切线长 经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。
(5)切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。8.三角形内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。
另外还需知道一点,即三角形的内心到三角形三边的距离相等,也就是三角形内切圆半径。9.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系主要可分为三种:相离、相切和相交,分述如下:(1)相离 如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离;相离又分为外离和内含,两圆内含有一种特殊情况即两圆同心。
(2)相切 如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切;相切又可分为外切和内切。(3)相交 两圆相交较为简单,即如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交。
10.正多边形和圆 我们先来温习一下什么是正多边形——各边相等、各角也相等的多边形,我们称之为正多边形。 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心。
知识点1 圆的有关概念
1. 圆心和半径:圆心确定位置,半径确定大小。等圆或同圆的半径都相等。
2. 弦:圆上任意两点之间的线段。直径是圆中最长的弦。
3. 弧:圆上任意两点之间的部分。完全重合的弧叫做等弧(强调度数相等且长度相等)
4. 三角形的外心是三边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等。
5. 经过不在同一条直线上的三个点唯一确定一个圆。
【常作辅助线1】连接圆心和圆上的点,形成半径。
知识点2 圆的有关性质
(1) 圆是中心对称图形,也是轴对称图形。
(2) 弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中,有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等。
(3)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,也平分弦所对的优弧和劣弧。
(4) 圆周角的性质:① 同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于它所对的圆心角的一半
②直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
【解题方法1】半径、弦长、弓高、圆心到弦的距离这四个量的关系是只要知道其中的两个就能求出另两个。
【解题方法2】当弦长=R时,弦所对的圆心角=60°, 当弦长= 时,弦所对的圆心角=90°
当弦长= 时,弦所对的圆心角=120°,一条弦所对的圆周角中,同侧相等,异侧互补。
【圆周角定理1的理解】①同弧所对的圆周角相等;②等弧所对的圆心角相等;③圆周角的度数等于它所对弧所对圆心角的一半;④圆周角的度数等于它所对弧度数的一半;
【常作辅助线2】过圆心向弦作垂线,形成垂径定理的条件,构造直角三角形应用勾股定理进行计算。
【常作辅助线3】利用直径,构造直角。
第四章:《圆》一、知识回顾圆的周长: C=2πr或C=πd 、圆的面积:S=πr²圆环面积计算方法:S=πR² -πr²或S=π(R² - r²)(R是大圆半径,r是小圆半径) 三、知识要点一、圆的概念集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;固定的端点O为圆心。
连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。
2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线;3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内;2、点在圆上 点在圆上;3、点在圆外 点在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点;2、直线与圆相切 有一个交点;3、直线与圆相交 有两个交点;四、圆与圆的位置关系外离(图1) 无交点 ;外切(图2) 有一个交点 ;相交(图3) 有两个交点 ;内切(图4) 有一个交点 ;内含(图5) 无交点 ;五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:在⊙中,∵∥ ∴弧弧六、圆心角定理 顶点到圆心的角,叫圆心角。圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。
此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即:①;②;③;④ 弧弧七、圆周角定理顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角。1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即:∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ∴2、圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;即:在⊙中,∵、都是所对的圆周角 ∴推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。即:在⊙中,∵是直径 或∵ ∴ ∴是直径推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
即:在△中,∵ ∴△是直角三角形或注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即:在⊙中, ∵四边形是内接四边形 ∴ 九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵且过半径外端 ∴是⊙的切线(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:∵、是的两条切线 ∴ 平分十一、圆幂定理(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。即:在⊙中,∵弦、相交于点, ∴(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即:在⊙中,∵直径, ∴(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即:在⊙中,∵是切线,是割线 ∴ (4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。
即:在⊙中,∵、是割线 ∴十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图:垂直平分。
即:∵⊙、⊙相交于、两点 ∴垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:(1)公切线长:中,;(2)外公切线长:是半径之差; 内公切线长:是半径之和 。十四、圆内正多边形的计算(1)正三角形 在⊙中△是正三角形,有关计算在中进行:;(2)正四边形同理,四边形的有关计算在中进行,:(3)正六边形同理,六边形的有关计算在中进行,.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形:(1)弧长公式:;(2)扇形面积公式: :圆心角 :扇形多对应的圆的半径 。
九上数学圆知识点总结:
圆的周长:C=2πr或C=πd、圆的面积:S=πr²
圆环面积计算方法:S=πR²-πr²或S=π(R²-r²)(R是大圆半径,r是小圆半径)
知识要点
一、圆的概念
集合形式的概念
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。
2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线;
3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角
121①直线L和⊙O相交 d②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d>r
122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等
131推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-rr)
④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含dr)
136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于(n-2)*180°/n
141正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
142正三角形面积√3a/4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360°,因此k*(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
144弧长计算公式:L=nπR/180
145扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2
146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
1.在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆 。 固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。
2.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径。
3.圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每 一条弧都叫做半圆。能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做
等弧。
4. 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
5 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
6. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
7. 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
8. 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
9. 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等。
10. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等。
11. 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
12. 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
13.半圆(或半径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
14. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这 个多边形的外接圆。
15. 在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,他们所对的弧一定相等。
16. 圆内接四边形的对角互补。
17. 点P在圆外——d > r 点P在圆上——d = r 点P在圆内——d r
24.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
25.圆的切线垂直于过切点的半径。
26. 经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。
27.从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹 角。
28.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点叫 做三角形的内心
29.如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,(分外离和内含)如果两个圆只有一个公共 点,那么就说这两个圆相切,(分外切和内切)。如果这两个圆有两个公共点,那么就说这 两个圆相交。
30. 两圆圆心的距离叫做圆心距。
31. 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形 的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离 叫 做正多边形的边心距。
32.在半径是R的圆中,因为360°圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR,所以n°的圆心角所对的 弧长为nπR =——180
33. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形
34. 在半径是R的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就
是圆面积S=πR²
35. 我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥
的母线。
1. 圆地关于概念
圆、圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、弦心距、等弧、等圆、同心圆、弓形、弓形的高。
说明:
(1)直径是弦,但弦不壹定是直径,直径是圆中最长的弦。
(2)半圆是弧,但弧不一定是半圆。
(3)等弧只能是同圆或等圆中的弧,离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。
(4)等弧的长度必定相等,但长度相等的弧未必是等弧。
2. 点和圆的位置关系
说明:点和圆的位置关系与点到圆心的距离和半径大小的数量关系是对应的,即知量位置关系就行确定数量关系;知道数量关系也可以确定位置关系。
3. 和圆关于的角
圆心角、圆外角
说明:这两种与圆关于的角,可以通过对照,从(1)角的顶点的位置;(2)角的两边与圆的位置关系,两个方面去把握它们。
补充:假如角的顶点在圆内,则称这样的角为圆内角,圆心角是特殊的圆内角;假如角的顶点在圆外,且角的两边都与同一个圆相交,则称这样的角为圆外角。
4. 圆的关于性质
(1)圆确实定
<1>;圆心确定圆的位置半径确定圆的大小。
<2>;不在同一直线上的三个点确定一个圆。
(2)圆的对称性
<1>;圆是轴对称图形,任何一条经过圆心的直线都是它的对称轴。
<2>;圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。
说明:一个圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个,一个圆绕圆心旋转劝斥角度,都能够和原图形重合,即圆还具有旋转不变性。
(3)垂径定理
假如一条直线具有(1)经过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的劣弧(5)平分弦所对的优弧,这五个性质的任何两个性质,哪么这条直线就具有其他三个性质,即:
垂径定理:(1)(2) (3)(4)(5)
推论1:(1)(3) (2)(4)(5)
(2)(3) (1)(4)(5)
(1)(4)(或(5)) (2)(3)(5)(或(4))
(1)(3) (2)(4)(5)是“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”其中的弦必需是非直径的弦,假若弦是直径,那么这两条直径不一定互相垂直。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
说明:在处理圆的关于问题时,有以下几种常引用的辅助线:
(1)连弦的端点与圆心的半径。
(2)作弦心距
(3)连圆心和弦的中点(遇弦的中点时)
(4)连圆心和弧的中点(遇弧的中点时)
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