正弦余弦定理知识点及基础题目(高中正弦余弦定理主要题型以及做题方法)

1.高中正弦余弦定理主要题型以及做题方法

1.根据正弦定理和余弦定理公式解三角形（余弦定理中要注意骄傲的的取值个数）

2.三角形解的个数的讨论：若已知a,b,A，由正弦定理得sinB=(b/a)sinA=m，由此试进一步求三角形时，需结合sinB的取值范围及A+B(1)若m>1时，则不存在这样的角B，故三角形无解；

(2)若m≤1，则在[0°，180°]内存在角B，但此时三角形是否有解还需继续讨论。

①当m=1时，则B=90°，

a.若此时Ab. .若此时A≥90°，则三角形无解。

②当0a.当A+α>180°时，三角形无解；

b.当A+αc..当A+βd.当A+β≥180°时，三角形无解。

3.利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状（主要是公式的换算）

4利用正弦定理和余弦定理证明恒等式（主要是公式的换算）

5.求三角形的面积：公式：S△=½ah^a=½absinC=(abc)/4R=½（a+b+c）r=√p(p-a)(p-b)(p-c) （海伦公式）=½√（ |向量AB|*|向量AC|）^2-（向量AB*向量AC）^2=2RsinAsinBsinC=(a^2sinBsinC)/2sinA 其中r为△ABC内切圆半径，R为△ABC外接圆半径，P=½（a+b+c）

6应用举例：①测量距离 ②测量高度 ③测量角度

2.正、余弦定理的几道题目

1.△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c,a=x,b=2,B=45°，若该△有2解，求x取值范围 解：根据余弦定理：b²=a²+c²-2accosB即：a²+c²-2accosB- b²=0 又：a=x,b=2,B=45°故：x ²+c²-2 x ccos45°- 4=0 即：c²-√2 x c+ x ²- 4=0因为该△有2解，故：对于c²-√2 x c+ x ²- 4=0：△=（-√2 x） ²-4(x ²- 4)>0即：x ²并且c有两解，则两个解一定为正数，根据韦达定理：两根之积=x ²- 4>0；两根之和=√2 x>0 故：x>2或x0 (3)上面（1）、（2）、（3）的公共部分即为x取值范围，故：22.tanA=2,tanB=3,a=1，∠C=45°，求三角形面积 解：因为A、B、C为三角形的内角，且tanA=2>0,tanB=3>0故：A、B均为锐角sinA/cosA=.tanA=2，故：sinA=2cosA 又： sin²A+cos²A=1 故：sinA=2√5/5sinB/cosB=.tanB=3，故：sinB=3cosB 又： sin²B+cos²B=1 故：sinB=3√10/10故：根据正弦定理：a/sinA=b/sinB，又：a=1 故：b=3√2/4故：三角形面积S=1/2absinC=1/2*1*3√2/4*√2/2=3/83.三角形ABC中，三边长为连续自然数且最大角为钝角，求三角形三边长 解：设三边分别为x,x+1,x+2，则x+2所对的角为钝角，设为A故：根据余弦定理：cosA=[x²+（ x+1） ²-（ x+2） ²]/[2x(x+1)] 且x+ x+1>x+2故：x²+（ x+1） ²-（ x+2） ²1即：-11又：x为自然数，故：x=2故：三角形三边长为2、3、44.设a,b,c为△ABC三条边，求证：a²+b²+c²〈2(ab+bc+ca) 证明：根据余弦定理，a²+b²-c²=2abcosC ;b²+c²-a²=2bccosA ;a²+c²-b²=2accosB 三式相加得：a²+b²+c²=2abcosC+2bccosA+2accosB5.△ABC，若a²+ab=c²-b²，则角C=？解：因为a²+ab=c²-b² 故：a²+b²-c²=-ab=2abcosC故：cosC=-1/2 故：C=2π/36.△ABC，如果lga-lgc=lgsinB=-lg√2，且B为锐角，则△ABC的形状是 解：因为lga-lgc=lgsinB=-lg√2 即：lg(a/c)= lgsinB=lg（√2/2）故：a/c=√2/2, sinB=√2/2 ，又B为锐角故：c=√2a,B=π/4又：a²+c²-b²=2accosB 故：b=a故：a²+b²=c²=2 a²故：△ABC的形状是等腰直角△7.△ABC，已知a-b=4,a+c=2b，且最大角为120°，求三边长 解：因为a-b=4,a+c=2b故：b=4+c;a=8+c故：a所对的角A最大，即：A=120°根据余弦定理：b²+c²-a²=2bccosA故：（4+c） ²+c²-（8+c） ²=2(4+c) ccos120°故：c=6故：b=4+c=10;a=8+c=148.△ABC，已知A=60°，b=1，面积为√3，求（a+b+c）/(sinA+sinB+sinC)解：S=1/2bcsinA=√3 又：A=60°，b=1故：c=4根据余弦定理：b²+c²-a²=2bccosA故：1²+4²-a²=2*1*4*cos60°故：a=√13根据正弦定理：a/sinA=b/sinBc/sinC故：（a+b+c）/(sinA+sinB+sinC)=a/sinA=√13/sin60°=2√39/3。

3.两道高一数学简单基础的正余弦定理题目

10。解：易得AD=2sin(B + A/2),BE=2sin(A + B/2),CF=2sin(A + C/2)

将上式代入所求表达式中得：[ADcos(A/2)+BEcos(B/2)+CFcos(C/2)]/(sinA+sinB+sinC)=2

故：选A。

12。利用正弦定理很容易证明此题有误。

例如：令C=arccos(1/3)→A=B=[π - arccos(1/3)]/2→tanC/tanA + tanB/tanA=3

4.问几道关于正、余弦定理的题目*注：以下题目最好写出解答过程1. 爱

*注：以下题目最好写出解答过程。

1。在△ABC中，tanB=1,tanC=2,b=100，求a。

因为A、B、C均为△ABC的内角 所以，A、B、C∈（0,180°） 已知，tanB=1 所以，B=45° 则，sinB=cosB=√2/2 又，tanC=2>0 所以，C∈（0,90°） 所以，sinC=2/√5,cosC=1/√5 而，sinA=sin[180°-（B+C）]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC =（√2/2）*(2/√5)+（√2/2）*(1/√5) =（√2/2）*(3/√5) =3/√10 由正弦定理有：a/sinA=b/sinB得到： a/(3/√10)=100/（√2/2） 所以，a=300*√2/√10=60√5 2。 在△ABC中，A、B、C相对应的边分别是a、b、c，求acosB+bcosA。

acosB+bcosA =a*[(a^2+c^2-b^2)/(2ac)]+b*[(b^2+c^2-a^2)/(2bc)] =(a^2+c^2-b^2)/(2c)+(b^2+c^2-a^2)/(2c) =(a^2+c^2-b^2+b^2+c^2-a^2)/(2c) =2c^2/(2c) =c 3。 在△ABC中，A、B、C相对应的边分别是a、b、c，若（a+b-c）·（sinB+sinB-sinC）=3asinB，求角C的大小。

题目中怎么有两个sinB?。

5.高中关于正余弦定理的题目

(1)原式化为：cosBsinC=sinBcosC，移向得：sinBcosC-cosBsinC=0，运用公式即得sin(B-C)=0

这题要记得公式啊就是：sinBcosC-cosBsinC=sin(B-C)，这是一个基本公式。

(2)sin2A=sin2B，即2sinAcosA=2sinBcosB，把2约掉，在意到一方，便可以运用公式得到sin(A-B)=0即角A=角B，所以该三角形为等腰三角形。

(3)一个角的余弦值=他的余角的正弦值，sin(180-A)=sinA,sin(180+A)=-sinA,

cos(180-A)=-cosA,cos(180+A)=-cosA.

6.两道基础简单的高一正余弦定理题目就是10题跟12题,我做了很多代

这两道题都可以用特殊代入法求解。

1）， 设三角形ABC为等边三角形，则AD= BE= CF = 2;A= B = C =60； 此时算出来结果为2；答案A正确。 2）。

由b/a+a/b = 6cosC 则 b^2+a^2 =6abcosC = 3(a^2+b^2 -c^2)； 则2(a^2+b^2) = 3c^2 tanC/tanA+ tanB/tanA = (tanB+tanC)/tanA = cosA/(cosBcosC) = [(b^2+c^2 -a^2)/(2ab)]/ {[(a^2+c^2 -b^2)/(2ac)]{[(a^2+b^2 -c^2)/(2ab)]} 一种偷懒的方法是：2(a^2+b^2) = 3c^2 找个特殊的三角形：假设a^2 = b^2 = 3 /4c^2 代入 [（b^2+c^2 -a^2）/(2ab)]/ {[(a^2+c^2 -b^2)/(2ac)]{[(a^2+b^2 -c^2)/(2ab)]} 可得结果为3; 。

7.关于正弦定理与余弦定理的题

1。

直接用余弦定理设第三边为x，则x^2=5^2+4^2-2*5*4*cos120°=61，即x=√612。先运用和差化积、积化和差、倍角公式确定角度注意到A+B+C=180°，A+B=120°sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]=2sin[120°/2]*cos[(A-B)/2]=√3cos[(A-B)/2]sinAsinB=-1/2[cos(A+B)-cos(A-B)]=-1/2[cos120°-cos(A-B)]=1/2cos(A-B)+1/4因sinA+sinB=2√6sinAsinB则√3cos[(A-B)/2]=2√6*[1/2cos(A-B)+1/4]而由倍角公式有cos(A-B)=2cos^2[(A-B)/2]-1，令cos[(A-B)/2]=t，则有t^2-√2/4-1/4=0解得t=√2/2或t=-√2/4即cos[(A-B)/2]=√2/2或cos[(A-B)/2]=-√2/4因-180°0，所以cos[(A-B)/2]=√2/2，即|A-B|=90°令A>B，而A+B=120°所以A=105°，B=15°再用正弦定理、倍角公式、两角和正弦公式确定边及面积设另外两边长为a、b由正弦定理有：b=c/sinC*sinB=3/sin60°*sin15°=2√3*sin15°由倍角公式有sin15°=√[（1-cos30°）/2]（注意到sin15°>0）则sin15°=（√6-√2）/4所以b=(3√2-√6)/2又由正弦定由倍角公式有sin15°理有：a=c/sinC*sinA=3/sin60°*sin105°=2√3*sin105°由两角和正弦公式有sin105°=sin(60°+15°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=（√6+√2）/4所以a=(3√2+√6)/2由面积公式有S⊿ABC=(ab/2)·sinC=3√3/4。

8.高中数学正弦和余弦定理题目急求解

根据正弦定理，a/sinA=c/sinC，所以a/c=sinA/sinC，代入sinAcosC=3cosAsinC中得： a*cosC=3cosA*c根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab,cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc，所以a*cosC=(a^2+b^2-c^2)/2b,3cosA*c=3(c^2+b^2-a^2)/2b，因为a*cosC=3cosA*c，所以a^2+b^2-c^2=3(c^2+b^2-a^2)，因为a^2-c^2=2b，所以b^2+2b=3(b^2-2b)，即b^2-4b=0，因为b为三角形ABC边长，所以b不等于0所以b=4。

9.关于正弦定理与余弦定理的题

1。直接用余弦定理

设第三边为x，则

x^2=5^2+4^2-2*5*4*cos120°=61，即x=√61

2。先运用和差化积、积化和差、倍角公式确定角度

注意到A+B+C=180°，A+B=120°

sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]=2sin[120°/2]*cos[(A-B)/2]=√3cos[(A-B)/2]

sinAsinB=-1/2[cos(A+B)-cos(A-B)]=-1/2[cos120°-cos(A-B)]=1/2cos(A-B)+1/4

因sinA+sinB=2√6sinAsinB

则√3cos[(A-B)/2]=2√6*[1/2cos(A-B)+1/4]

而由倍角公式有cos(A-B)=2cos^2[(A-B)/2]-1，令cos[(A-B)/2]=t，则有

t^2-√2/4-1/4=0

解得t=√2/2或t=-√2/4

即cos[(A-B)/2]=√2/2或cos[(A-B)/2]=-√2/4

因-180°<A-B<180°，即-90°<(A-B)/2<90°

则cos[(A-B)/2]>0，所以cos[(A-B)/2]=√2/2，即|A-B|=90°

令A>B，而A+B=120°

所以A=105°，B=15°

再用正弦定理、倍角公式、两角和正弦公式确定边及面积

设另外两边长为a、b

由正弦定理有：b=c/sinC*sinB=3/sin60°*sin15°=2√3*sin15°

由倍角公式有sin15°=√[（1-cos30°）/2]（注意到sin15°>0）

则sin15°=（√6-√2）/4

所以b=(3√2-√6)/2

又由正弦定由倍角公式有sin15°理有：a=c/sinC*sinA=3/sin60°*sin105°=2√3*sin105°

由两角和正弦公式有sin105°=sin(60°+15°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=（√6+√2）/4

所以a=(3√2+√6)/2

由面积公式有S⊿ABC=(ab/2)·sinC=3√3/4