数学圆锥曲线点文字(圆锥曲线知识点总结)

1.圆锥曲线知识点总结

x^2/a^2+y^2/b^2=1或y^2/a^2+x^2/b^2=1（椭圆标准方程）

x^2/a^2-y^2/b^2=1或y^2/a^2-x^2/b^2=1（双曲线标准方程）

以下是抛物线：

y^2=2px，在x轴正半轴上，焦点为（0,p/2），准线方程为（x=-p/2）

y^2=-2px，在x轴负半轴上，焦点为（0,-p/2），准线方程为（x=p/2）

x^2=2py，在y轴正半轴上，焦点为（p/2,0），准线方程为（y=p/2）

x^2=-2py，在y轴正负轴上，焦点为（-p/2,0），准线方程为（y=-p/2）

2.圆锥曲线的知识点及解题方法

解题思路：把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用韦达定理和一元二次方程的根的判别式和题目要求来做，这就是必须的。

解圆锥曲线问题常用以下方法：

1、定义法

(1)椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。

(2)双曲线有两种定义。第一定义中，，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1,r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

(3)抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2)，弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

(1)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有。

(2)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有

(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0)，则有2y0k=2p，即y0k=p.

3.有关圆锥曲线等图形的有关知识点的归纳

圆锥曲线年级：高二 科目：数学 时间：12/12/2009 21:11:36 新 6046469 圆锥曲线中重要的知识点总结一下，还有一些经典例题。

Gif 解：同学你好，老师提供以下资料供你参考，希望对你有所帮助： 一、圆锥曲线的定义 1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。

2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P。

PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。

3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e1时为双曲线。

二、圆锥曲线的方程。 1.椭圆：+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0)（其中，a2=b2+c2） 2.双曲线：-=1(a>0, b>0)或-=1(a>0, b>0)（其中，c2=a2+b2） 3.抛物线：y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0) 三、圆锥曲线的性质 1.椭圆：+=1(a>b>0) (1)范围：|x|≤a,|y|≤b (2)顶点：（±a,0）,(0，±b) (3)焦点：（±c,0） (4)离心率：e=∈（0,1） (5)准线：x=± 2.双曲线：-=1(a>0, b>0) (1)范围：|x|≥a, y∈R (2)顶点：（±a,0） (3)焦点：（±c,0） (4)离心率：e=∈（1，+∞） （5）准线：x=± （6）渐近线：y=±x 3.抛物线：y2=2px(p>0) (1)范围：x≥0, y∈R (2)顶点：（0,0） (3)焦点：（，0） (4)离心率：e=1 (5)准线：x=- 四、例题选讲： 例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。

解：由题：2b=2,b=1,a=2,c==，则椭圆中心到准线的距离：==。 注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影响。

例2.椭圆+=1的离心率e=，则m=___________。 解：（1）椭圆的焦点在x轴上，a2=m,b2=4,c2=m-4,e2===m=8。

(2)椭圆的焦点在y轴上，a2=4,b2=m,c2=4-m,e2===m=2。 注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。

例3.如图：椭圆+=1(a>b>0),F1为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点，PF1⊥x轴，且PO//AB，求椭圆的离心率e。 解：设椭圆的右焦点为F2，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a， ∵ PF1⊥x轴，∴ |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2， 即（|PF2|+|PF1|）(|PF2|-|PF1|)=4c2， ∴ |PF1|=。

∵ PO//AB，∴ ΔPF1O∽ΔBOA， ∴ = c=ba=c， ∴ e==。 又解，∵ PF1⊥x轴，∴ 设P(-c, y)。

由第二定义：=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=， 由上解中ΔPF1O∽ΔBOA，得到b=ce=。 例4.已知F1,F2为椭圆+=1的焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=，求ΔF1PF2的面积。

分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关系，我们选用面积公式S=absinC。 解法一：SΔ=|PF1|·|PF2|·sin |PF1|+|PF2|=2a=20, 4*36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos， 即（|PF1|+|PF2|）2-3|PF1||PF2|=4*36, |PF1|·|PF2|= ∴ SΔ=**=。

解法二：SΔ=|F1F2|·|yP|=*12*yP=6|yP|， 由第二定义：=e|PF1|=a+exP=10+xP， 由第一定义：|PF2|=2a-|PF1|=10-xP, 4c2=|F1F2|2=(10+xP)2+(10-xP)2-2(10+xP)(10-xP)cos, 144=100+=, =64(1-)=64*, SΔ=6|yP|=6*=。 注意：两个定义联合运用解决问题。

从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法都试试。

例5.椭圆+=1 的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，求：|PF1|,|PF2|。 分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于|PF1|,|PF2|的表达式写出来，再求解。

解：如图，∵O为F1F2中点，PF1中点在y轴上，∴PF2//y轴，∴PF2⊥x轴， 由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a=4, |PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2, (|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=4*9=36， 。 例6.椭圆：+=1内一点A(2,2),F1,F2为焦点，P为椭圆上一点，求|PA|+|PF1|的最值。

解：|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|≤|AF2|+10=2+10, |PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)≥10-|AF2|=10-2。 注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

例7.已知：P为双曲线-=1(a>0, b>0)上一点，F1,F2为焦点，A1,A2为其顶点。求证：以PF1为直径的圆与以A1,A2为直径的圆相切。

证明：不妨设P在双曲线的右支上，设PF1中点为O', A1A2中点为O, |OO'|=|PF2|，圆O半径为|A1A2|，圆O'半径为|PF1| 由双曲线定义：|PF1|-|PF2|=|A1A2| |PF1|-|A1A2|=|PF2|=|OO'| ∴ 两个圆相内切。 注意：可以自己证出P在左支时，两圆相外切。

例8.已知：过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P,Q两点。求证：以线段PQ为直径的圆与准线相切。

证明：由定义知，如图：|PP'|=|PF|, |QQ'|=|QF| |PQ|=|PP'|+|QQ'|,|PQ|=(|PP'|+|QQ'|)， 故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。

4.关于圆锥曲线知识点总结

解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。

它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。

在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集： ，其中F为定点，d为P到定直线的l距离，F l，如图。

因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。当0<e1时，点P轨迹是双曲线；当e=1时，点P轨迹是抛物线。

（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|>0,F1、F2为定点}，双曲线{P。

PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|>2a>0,F1,F2为定点}。

（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。

②定量：椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 焦 距2c 长轴长2a —— 实轴长 ——2a 短轴长2b 焦点到对应 准线距离 P=2 p 通径长2· 2p 离心率1 基本量关系 a2=b2+c2 C2=a2+b2 (4)圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变） 举焦点在x轴上的方程如下：椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程 （a>b>0） (a>0,b>0) y2=2px(p>0) 顶 点 （±a,0） (0，±b) （±a,0） (0,0) 焦 点 （±c,0） ( ,0) 准 线 X=± x= 中 心 （0,0） 有界性 |x|≤a |y|≤b |x|≥a x≥0 焦半径 P(x0,y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 P在右支时： |PF1|=a+ex0 |PF2|=-a+ex0 P在左支时： |PF1|=-a-ex0 |PF2|=a-ex0 |PF|=x0+ 总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2、直线和圆锥曲线位置关系 （1）位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。

其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。

(2)直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。

4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。

5.圆锥曲线总结

难点25 圆锥曲线综合题 圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整. ●难点磁场 （★★★★）若椭圆 =1(a>b>0)与直线l:x+y=1在第一象限内有两个不同的交点，求a、b所满足的条件，并画出点P(a,b)的存在区域. ●案例探究 〔例1〕已知圆k过定点A(a,0)(a>0)，圆心k在抛物线C:y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦. （1）试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？ （2）当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？ 命题意图：本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力，属 ★★★★★级题目. 知识依托：弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识. 错解分析：在判断d与R的关系时，x0的范围是学生容易忽略的. 技巧与方法：对第（2）问，需将目标转化为判断d=x0+ 与R= 的大小. 解：（1）设圆心k(x0,y0)，且y02=2ax0， 圆k的半径R=|AK|= ∴|MN|=2 =2a（定值） ∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化. （2）设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k:(x-x0)2+(y-y0)2=x02+a2中， 令x=0，得y2-2y0y+y02-a2=0 ∴y1y2=y02-a2 ∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项. ∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a. 又|MN|=|y1-y2|=2a ∴|y1|+|y2|=|y1-y2| ∴y1y2≤0，因此y02-a2≤0，即2ax0-a2≤0. ∴0≤x0≤ . 圆心k到抛物线准线距离d=x0+ ≤a，而圆k半径R= ≥a. 且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交. 〔例2〕如图，已知椭圆 =1(2≤m≤5)，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|-|CD|| (1)求f(m)的解析式； （2）求f(m)的最值. 命题意图：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合.属★★★★★级题目. 知识依托：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值. 错解分析：在第（1）问中，要注意验证当2≤m≤5时，直线与椭圆恒有交点. 技巧与方法：第（1）问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将||AB|-|CD||化简.第（2）问，利用函数的单调性求最值是常用方法. 解：（1）设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m-1,c2=a2-b2=1 ∴椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0). 故直线的方程为y=x+1，又椭圆的准线方程为x=± ，即x=±m. ∴A(-m,-m+1),D(m,m+1) 考虑方程组 ，消去y得：（m-1）x2+m(x+1)2=m(m-1) 整理得：（2m-1）x2+2mx+2m-m2=0 Δ=4m2-4(2m-1)(2m-m2)=8m(m-1)2 ∵2≤m≤5，∴Δ>0恒成立，xB+xC= . 又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上 ∴|AB|=|xB-xA|= =(xB-xA). ,|CD|= (xD-xC) ∴||AB|-|CD||= |xB-xA+xD-xC|= |(xB+xC)-(xA+xD)| 又∵xA=-m,xD=m，∴xA+xD=0 ∴||AB|-|CD||=|xB+xC|. =| |. = (2≤m≤5) 故f(m)= ,m∈〔2,5〕. （2）由f(m)= ，可知f(m)= 又2- ≤2- ≤2- ∴f(m)∈〔 〕 故f(m)的最大值为 ，此时m=2;f(m)的最小值为 ，此时m=5. 〔例3〕舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是 千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？ 命题意图：考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程. 错解分析：答好本题，除要准确地把握好点P的位置（既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上），还应对方位角的概念掌握清楚. 技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程. 解：取AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，A、B、C舰的坐标为（3,0）、（-3,0）、（-5,2 ）. 由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|.于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为 x-3y+7 =0. 又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|-|PA|=4，故知P在双曲线 =1的右支上. 直线与双曲线的交点为（8,5 ），此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10. 据已知两点的斜率公式，得kPA= ，所以直线PA的倾斜角为60°，于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°. 设发射炮弹的仰角是θ，初速度v0= ，则 ， ∴sin2θ= ，∴仰角θ=30°. ●锦囊妙计 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的. （1）对于求曲线方程中参数的取。

6.数学圆锥曲线的总结有哪些

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。

其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。

一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

标准方程： 1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：（x^2/a^2）+(y^2/b^2)=1 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：（x^2/b^2）+(y^2/a^2)=1 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 参数方程： X=acosθ Y=bsinθ （θ为参数 ，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆 此时c=0，圆的acosθ=r）2）双曲线 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。

标准方程： 1.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：（x^2/a^2）-(y^2/b^2)=1 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：（y^2/a^2）-(x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 参数方程： x=asecθ y=btanθ （θ为参数 ） 3）抛物线标准方程： 1.顶点在原点，焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点，焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点，焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>0 4.顶点在原点，焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0 参数方程 x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ（tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0 直角坐标 y=ax^2+bx+c （开口方向为y轴， a0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴， a0 ） 圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为 ρ=ep/(1-e*cosθ) 其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。 二、焦半径圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。

圆锥曲线左右焦点为F1、F2，其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为： 椭圆 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex 双曲线 P在左支，|PF1|=-a-ex |PF2|=a-ex P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=-a+ex P在下支，|PF1|= -a-ey |PF2|=a-ey P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=-a+ey 抛物线 |PF|=x+p/2 三、圆锥曲线的切线方程 圆锥曲线上一点P(x0,y0)的切线方程以x0x代替x^2，以y0y代替y^2；以（x0+x）/2代替x，以（y0+y）/2代替y 即椭圆：x0x/a^2+y0y/b^2=1；双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；抛物线：y0y=p(x0+x)四、焦准距圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。 椭圆的焦准距：p=(b^2)/c 双曲线的焦准距：p=(b^2)/c 抛物线的准焦距：p五、通径圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦成为通径。

椭圆的通径：（2b^2）/a 双曲线的通径：（2b^2）/a 抛物线的通径：2p六、圆锥曲线的性质对比见下图：七、圆锥曲线的中点弦问题 已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程 ⒈联立方程法。 用点斜式设出该弦的方程（斜率不存在的情况需要另外考虑），与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。

2.点差法，或称代点相减法。 设出弦的两端点坐标（x1,y1）和（x2,y2），代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减，运用平方差公式得[（x1+x2）·（x1-x2）]/(a^2)+[(y1+y2)·（y1-y2）/(b^2]=0 由斜率为（y1-y2）/(x1-x2)可以得到斜率的取值。

（使用时注意判别式的问题）。

7.我想知道圆锥曲线的知识点总结,平时最容易考到的题的总结等

椭圆 一、知识表格 项目 内容 第一定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆。

第二定义 平面内到定点与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹叫椭圆。 图形 标准方程 几 何 性 质 范围 顶点与长短轴的长 焦点焦距 准线方程 焦半径 左 下 焦准距 离心率 （越小，椭圆越近似于圆） 准线间距 对称性 椭圆都是关于轴成轴对称，关于原点成中心对称 通径 焦点三角形 椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形，其周长为，解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的计算 焦点弦三角形 椭圆的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形，其周长为。

参数方程 为参数） 为参数） 注意： 1、椭圆按向量平移后的方程为：或，平移不改变点与点之间的相对位置关系（即椭圆的焦准距等距离不变）和离心率。 2、弦长公式： 已知直线：与曲线交于两点，则 或 3、中点弦问题的方法：①方程组法，②代点作差法。

两种方法总体都体现高而不求的数学思想。 双曲线 项目 内容 第一定义 平面内与两个定点的距离之差等于常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。

第二定义 平面内到定点与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹叫双曲线。 图形 标准方程 几 何 性 质 范围 顶点与实虚轴的长 焦点焦距 准线方程 焦半径 当在右支上时 左 当在左支上时 左 当在上支上时 下 当在下支上时 下 渐近线方程 焦准距 离心率 （越小，双曲线开口越小），等轴双曲线的 准线间距 对称性 双曲线都是关于轴成轴对称，关于原点成中心对称 通径 焦点三角形 双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形，解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的计算 焦点弦三角形 双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形。

参数方程 为参数） 为参数） 项目 内容 定义 平面内到定点的距离等于到定直线距离的点的轨迹叫抛物线。 图形 标准方程 几 何 性 质 范围 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦准距 顶点坐标 坐标原点（0,0） 焦点坐标 准线方程 对称轴 轴 轴 轴 轴 离心率 通径长 焦半径 抛物线 一、焦点弦的结论：（针对抛物线：其中），为过焦点的弦，则 1、焦点弦长公式： 2、通径是焦点弦中最短的弦其长为 3、，， 4、以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 5、已知、在准线上的射影分别为、，则三点、、共线，同时 、、三点也共线 6、已知、在准线上的射影分别为、，则 7、 二、顶点直角三角形：直角顶点在抛物线顶点的三角形与其对称轴交于一个定点 ，反之，过定点的弦所对的顶点角为直角。

三、从抛物线的焦点出发的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行。 椭圆基础练习题 椭圆（一） 1.椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2.椭圆的焦点坐标是（ ） A.（±5,0） B.(0，±5) C.(0，±12) D.（±12,0） 3.已知椭圆的方程为，焦点在x轴上，则其焦距为（ ） A.2 B.2 C.2 D. 4.，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 .5.方程表示椭圆，则α的取值范围是（ ） A. B. C.∈Z) D. ∈Z） 椭圆（二） 1.设F1、F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则动点M的轨迹是 （ ） A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 2.椭圆的左右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 （ ） A.32 B.16 C.8 D.4 3.设α∈（0，），方程表示焦点在x轴上的椭圆，则α∈ （） A.(0, B.(,) C.(0,) D.〔，） 4.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是______. 5.方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是______. 6.在△ABC中，BC=24,AC、AB的两条中线之和为39，求△ABC的重心轨迹方程. 椭圆（三） 1.选择题 （1）已知椭圆上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离是 （ ）A.2 B.3 C.5 D.7 (2)已知椭圆方程为，那么它的焦距是 （ ） A.6 B.3 C.3 D. (3)如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 （ ） A.(0，+∞) B.(0,2) C.(1，+∞) D.(0,1) (4)已知椭圆的两个焦点坐标是F1(-2,0),F2(2,0)，并且经过点P（)，则椭圆标准方程是______. （5）过点A(-1,-2)且与椭圆的两个焦点相同的椭圆标准方程是______. （6）过点P(,-2),Q(-2,1)两点的椭圆标准方程是______. 椭圆（四） 1.设0≤α A.(, ) B.(, ) C.(,) D.（，π） 2.方程（a>b>0,k>0且k≠1），与方程（a>b>0）表示的椭圆 （ ） A.有等长的短轴、长轴 B.有共同的焦点 C.有公共的准线 D.有相同的离心率 3.中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于6，离心率等于，则此椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A.-16。