初中三角函数免费(初中数学三角函数讲解)
1.初中数学三角函数讲解
初中的我想得起来的有两个一定要记住的
一个是等腰直角三角形，一个是有一个角是30度的直角三角形
那么这两种三角形的边分别为1,1，根号2和1,2，根号3
至于三角函数值，你就直接画出这两个图，标上边长，比一比就知道了。
比如
sin45度=45度的对边 ： 斜边
= 1：根号2
= 2分之根号2
其他也一样，不用背的，而且方便实用。
如果已经其中一边，你就先算出需要用到的三角函数值，再用比例算出要求的边
比如先算出sin45度 = 2分之根号2
如果知道45度的对边是2，那么斜边就是2倍根号2
2.三角涵数的基本知识?
象Pro/e这种图形设计软件用到的没有太深的三角函数问题把一般都会用到的都列出来了，有点罗嗦正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数 versinθ =1-cosθ 余矢函数 vercosθ =1-sinθ 同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2（α）+cos^2（α）=1 tan^2（α）+1=sec^2（α） cot^2（α）+1=csc^2（α） ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中， 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边， 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边， 三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ） tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ） ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^(1/2)sin（α+t），其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^(1/2)cos（α-t）,tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α） tan(2α)=2tanα/[1-tan^2（α）] ·三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin^3（α） cos(3α)=4cos^3（α）-3cosα ·半角公式： sin（α/2）=±√（（1-cosα）/2) cos（α/2）=±√（（1+cosα）/2) tan（α/2）=±√（（1-cosα）/（1+cosα））=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα ·降幂公式 sin^2（α）=（1-cos(2α)）/2=versin(2α)/2 cos^2（α）=（1+cos(2α)）/2=vercos(2α)/2 tan^2（α）=（1-cos(2α)）/（1+cos(2α)） ·万能公式： sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）] cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）] tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）] ·积化和差公式： sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）] cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）] cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）] sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2] sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2] cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2] cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2] ·其他： sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0 cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0 以及 sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 部分高等内容 ·高等代数中三角函数的指数表示（由泰勒级数易得）： sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4！+…+z^n/n！+… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q，可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
特殊三角函数值 a 0` 30` 45` 60` 90` sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tana 0 √3/3 1 √3 None cota None √3 1 √3/3 0 三角函数的计算 幂级数 c0+c1x+c2x2+。+cnxn+。
=∑cnxn (n=0..∞) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+。+cn(x-a)n+。
=∑cn(x-a)n (n=0..∞) 它们的各项都是正整数幂的幂函数， 其中c0,c1,c2,。cn。
及a都是常数， 这种级数称为幂级数. 泰勒展开式（幂级数展开法）： f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+。f(n)(a)/n!*(x-a)n+。
实用幂级数： ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+。+xn/n!+。
ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-。(-1)k-1*xk/k+。
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3.初中三角函数知识点
1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
2、在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为（∠A可换成∠B）
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小。
6、正切、余切的增减性： 当0°<；α<90°时，tanα随α的增大而增大，cotα随α的增大而减小。
7、初中三角函数两角和与差的三角函数：
cos（αβ）=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos（α-β）=cosα·cosβsinα·sinβ
sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan（αβ）=（tanαtanβ）/（1-tanα·tanβ）
tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1tanα·tanβ）
8、初中三角函数倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα
cos(2α)=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2（α）]
9、初中三角函数三倍角公式：
sin3α=3sinα-4sin^3（α）
cos3α=4cos^3（α）-3cosα
10、初中三角函数半角公式：
sin^2（α/2）=(1-cosα)/2
cos^2（α/2）=(1cosα)/2
tan^2（α/2）=(1-cosα)/（1cosα）
tan（α/2）=sinα/（1cosα）=（1-cosα）/sinα
11、初中三角函数万能公式：
sinα=2tan（α/2）/[1tan^2（α/2）]
cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1tan^2（α/2）]
tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]
12、初中三角函数积化和差公式：
sinα·cosβ=（1/2）[sin（αβ）sin（α-β）]
cosα·sinβ=（1/2）[sin（αβ）-sin（α-β）]
cosα·cosβ=（1/2）[cos（αβ）cos（α-β）]
sinα·sinβ=-（1/2）[cos（αβ）-cos（α-β）]
13、初中三角函数和差化积公式：
sinαsinβ=2sin[（αβ）/2]cos[（α-β）/2]
sinα-sinβ=2cos[（αβ）/2]sin[（α-β）/2]
cosαcosβ=2cos[（αβ）/2]cos[（α-β）/2]
cosα-cosβ=-2sin[（αβ）/2]sin[（α-β）/2]
4.三角函数知识
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。基本初等内容它有六种基本函数（初等基本表示）：函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割正弦函数 sinθ=y/r余弦函数 cosθ=x/r正切函数 tanθ=y/x余切函数 cotθ=x/y正割函数 secθ=r/x余割函数 cscθ=r/y以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数 versinθ =1-cosθ余矢函数 vercosθ =1-sinθ同角三角函数间的基本关系式：·平方关系： sin^2（α）+cos^2（α）=1 tan^2（α）+1=sec^2（α） cot^2（α）+1=csc^2（α）·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式：·两角和与差的三角函数：cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβtan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）·辅助角公式：Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^(1/2)sin（α+t），其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）tan(2α)=2tanα/[1-tan^2（α）]·三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosα·半角公式：sin^2（α/2）=(1-cosα)/2cos^2（α/2）=(1+cosα)/2tan^2（α/2）=(1-cosα)/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα·万能公式：sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]·积化和差公式：sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]·其他：sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0 以及sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示（由泰勒级数易得）：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/2cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[^(ix)+e^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4！+…+z^n/n！+… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q，可证明Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
5.初中三角函数的基本公式
同角三角函数的基本关系式 倒数关系： 商的关系： 平方关系：tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α 诱导公式sin（-α）=-sinα cos（-α）=cosα tan（-α）=-tanα cot（-α）=-cotα sin（π/2-α）=cosα cos（π/2-α）=sinα tan（π/2-α）=cotα cot（π/2-α）=tanα sin（π/2+α）=cosα cos（π/2+α）=-sinα tan（π/2+α）=-cotα cot（π/2+α）=-tanα sin（π-α）=sinα cos（π-α）=-cosα tan（π-α）=-tanα cot（π-α）=-cotα sin（π+α）=-sinα cos（π+α）=-cosα tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα （其中k∈Z） 两角和与差的三角函数公式 万能公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ tan（α+β）=—————— 1-tanα ·tanβ tanα-tanβ tan（α-β）=—————— 1+tanα ·tanβ 2tan（α/2） sinα=—————— 1+tan2（α/2） 1-tan2（α/2） cosα=—————— 1+tan2（α/2） 2tan（α/2） tanα=—————— 1-tan2（α/2） 半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α 2tanα tan2α=————— 1-tan2α sin3α=3sinα-4sin3α cos3α=4cos3α-3cosα 3tanα-tan3α tan3α=—————— 1-3tan2α 三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式 α+β α-β sinα+sinβ=2sin—--·cos—-— 2 2 α+β α-β sinα-sinβ=2cos—--·sin—-— 2 2 α+β α-β cosα+cosβ=2cos—--·cos—-— 2 2 α+β α-β cosα-cosβ=-2sin—--·sin—-— 2 2 1 sinα ·cosβ=-[sin（α+β）+sin（α-β）] 2 1 cosα ·sinβ=-[sin（α+β）-sin（α-β）] 2 1 cosα ·cosβ=-[cos（α+β）+cos（α-β）] 2 1 sinα ·sinβ=- -[cos（α+β）-cos（α-β）] 2 化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式） 倒数关系： 商的关系： 平方关系：tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α。
6.初中三角函数
三角函数的公式[初三]：只有3个公式
sinA=<A的对边/斜边
cosA=<A的邻边/斜边
tanA=<A的对边/邻边
我再提供一些关于 三角函数值的：
特殊的三角函数值[30`60`45`] ` 代表度
sin cos tan
30` 1/2 根号3除以2 根号3除以3
60` 根号3除以2 1/2 根号3
45` 根号2除以2 根号2除以2 1
其中 互余角的函数值是相同的 在45`的直角三角形中sin+cos=1 [从表中可看出]
至于作题技巧呢，很难用文字表达给你.因为做这些题涉及的范围很广，有运用相似三角形的知识，勾股定理，还有直角三角形的性质等等来解题，最好的方法就是把基础知识巩固好.然后运用自如，自然就不难解题了！我只能告诉你大多数的三角函数的解题思路都跟相似三角形的知识，勾股定理，还有直角三角形的性质有关，你在解题的时候可以先考虑这些，应该可以解出的。。..
最后，我祝你的数学成绩越来越高吧！！！！！！
7.初中三角函数的知识终结
1.1 正弦和余弦例1 已知0°≤α≤90°.（1）求证：sin2α+cos2α=1;(2)求证：sinα+cosα≥1，讨论在什么情形下等号成立；（3）已知sinα+cosα=1，求sin3α+cos3α的值.证明 （1）如图6-1，当0°<α<90°时，sinα=BC/AB,cosα=AC/AB，所以在这种情形下当α=0°时，sinα=0,cosα=1；当α=90°，sinα=1,cosα=0.所以在这两种情形下仍有sin2α+cos2α=1.(2)如图6-1，当0°<α<90°时，sinα=BC/AB,cosα=AC/AB.所以在这种情形下当α=0°时，sinα+cosα=0+1=1；当α=90°时，sinα+cosα=1+0=1.所以当0°≤α≤90°时，总有sinα+cosα≥1，当并且只当α=0°或α=90°时，等号成立.（3）由于已知sina+cosα=1.由（2）可知α=0°或α=90°，所以总有sin3α+cos3α=1.例2 求证：对于0°≤α≤90°，证法一 如图6-1，设BC=a,AC=b,AB=c.由锐角三角函数当α=0°或α=90°时，容易验证以上等式仍成立.证法二点评 证法一是根据锐角三角函数的定义；证法二用了公式sin2α+cos2α=1.证明一个三角恒等式成立，可变换等号左（右）端的式子，如得到等号右（左）端的式子，原恒等式就被证明了.一般对较复杂的式子进行变换，也可以对等号左，右的式子都进行变换，如得到相同的式子，原恒等式就被证明了.1.2 正切和余切证明 （1）当0°<α<90°时，如图6-2，当α=0°时，tgα=0,sinα=0,cosα=1.所以仍有tgα=（2）α必须满足不等式：0°<α<90°.如图6-2，所以tgα·ctgα=1.例2 已知锐角α，且tgα是方程x2-2x-3=0的一个根，求解法一 x2-2x-3=0的两根为3和-1.这里只能是tgα=3.如图6-3，由于tgα=3.因此可设BC=3,AC=1，从而解法二 tgα=3，用cos2α除原式分子，分母，得证法一 如图6-2，设BC=a,AC=b,AB=c，则所以原式成立.证法二 等式的左端点评 这里α≠0°，90°.怎样理解锐角三角函数的概念 答：现行初中几何课本中给出锐角三角函数的定义，是依据这样一个基本事实：在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边，邻边与斜边的比值是一个固定的值.关于这点，我们看图1，图中的直角三角形AB1C1,AB2C2,AB3C3，…都有一个相等的锐角A，即锐角A取一个固定值.如图所示，许许多多直角三角形中相等的那个锐角叠合在一起，并使一条直角边落在同一条直线上，那么斜边必然都落在另一条直线上.不难看出，B1C1‖B2C2‖B3C3‖…，∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…，因此，在这些直角三角形中，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值.根据同样道理，由"相似形"知识可以知道，在这些直角三角形中，∠A的对边与邻边的比值，∠A的邻边与斜边的比值都分别是某个固定的值.这样在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；锐角A邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tgA；锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作ctgA，于是我们得到锐角A的四个锐角三角函数，即深刻理解锐角三角函数定义，要注意以下几点：（1）角A的锐角三角函数值与三角形的大小，即边的长短无关.只要角A一旦确定，四个比值就随之而定；角A变化时.四个比值对应变化.这正体现了函数的特点，锐角三角函数也是一种函数，这里角A是自变量，对于每一个确定的角A，上面四个比值都有唯一确定的值与之对应，因此，锐角三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数.（2）准确理解锐角三角函数定义，要熟记每个锐角三角函数是怎样规定的，是角的哪条边与哪条边的比；在具体应用定义时，要注意分清图形中，哪条边是角的对边，哪条边是角的邻边，哪条边是斜边.[例] 求出图2中sinD,tgE的值.（3）"sinA"等是一个完整的符号.整的符号，不能看成sin与A的乘积.离开角A的"sin"没有什么意义，其他三个cosA,tgA,ctgA等也是这样.所以写时不能把"sin"与"A"分开.锐角三角函数定义把形与数结合起来，从事物的相互联系去观察，对直角三角形不是孤立地看它的角，它的边，而是抓住了它们之间的联系，从而为深入研究问题打开了思路，奠定了基础.从定义的导出过程不难看出，锐角三角函数是数（比值）和形（角A）完美结合的结果，同学们应该在学习中很好地体会和掌握这种研究问题的思想方法.计算解答题3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA是方程5x2 -14x+8=0的一个根，求sinA,tgA.4. q为三角形的一个角，如果方程10x2-(10cosq)x-3cosq+4=0有两个相等的实数根，求tgq. 答案3. 解：∵sinA是方程5x2-14x+8=0的一个根则5sin2A-14sinA+8=04. 解：∵100cos2q-40(4-3cosq)=0即5cos2q+6cosq-8=0。
