整式的乘法梳理(整式的乘除知识点)
1.整式的乘除知识点
单项式和多项式统称为整式。
代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数，以及虽有除法运算及分数，但除式或分母中不含变数者，则称为整式。 （含有字母有除法运算的，那么式子 叫做分式fraction.） 整式可以分为定义和运算，定义又可以分为单项式和多项式，运算又可以分为加减和乘除。
加减包括合并同类项，乘除包括基本运算、法则和公式，基本运算又可以分为幂的运算性质，法则可以分为整式、除法，公式可以分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂。 整式和同类项 1.单项式 （1）单项式的表示形式：1、数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式2、单个字母也是单项式。
3、单个的数是单项式4、字母与字母相乘成为单项式5、数与数相乘称为单项式 （2）单项式的系数：单项式中的 数字因数及性质符号叫做单项式的系数。 如果一个单项式，只含有数字因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为—1。
(3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 2.多项式 （1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。
多项式中的符号，看作各项的性质符号。一元N次多项式最多N+1项 （2）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
（3）多项式的排列： 1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。 2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法的运算定律，来交换各项的位置，而保持原多项式的值不变。 为了便于多项式的计算，通常总是把一个多项式，按照一定的顺序，整理成整洁简单的形式，这就是多项式的排列。
在做多项式的排列的题时注意： （1）由于单项式的项，包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分，一起移动。 （2）有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意： a.先确认按照哪个字母的指数来排列。
b.确定按这个字母向里排列，还是向外排列。 （3）整式： 单项式和多项式统称为整式。
（4）同类项的概念： 所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也叫同类项。 掌握同类项的概念时注意： 1.判断几个单项式或项，是否是同类项，就要掌握两个条件： ①所含字母相同。
②相同字母的次数也相同。 2.同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关。
3.几个常数项也是同类项。 （5）合并同类项： 1.合并同类项的概念： 把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
2.合并同类项的法则： 同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3.合并同类项步骤： ⑴.准确的找出同类项。
⑵.逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 ⑶.写出合并后的结果。
在掌握合并同类项时注意： 1.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 2.不要漏掉不能合并的项。 3.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。
合并同类项的关键：正确判断同类项。 整式和整式的乘法 整式可以分为定义和运算，定义又可以分为单项式和多项式，运算又可以分为加减和乘除。
加减包括合并同类项，乘除包括基本运算、法则和公式，基本运算又可以分为幂的运算性质，法则可以分为整式、除法，公式可以分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂。 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加。
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
单项式与单项式相乘有以下法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 单项式与多项式相乘有以下法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘有下面的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。
完全平方公式：两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两积的2倍。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。 谈整式学习的要点 屠新民 整式是代数式中最基本的式子，引进整式是实际的需要，也是学习后续内容（例如分式、一元二次方程等）的需要。
整式是在以前学习了有理数运算、列简单的代数式、一元一次方程及不等式的基础上引进的。事实上，整式的有关内容在六年级已经学习过，但现在的整式内容比过去更加强了应用，增加了实际应用的背景。
本章知识结构框图： 本章有较多的知识点属于重点或难点，既是重点又是难点的内容为如下三个方面。 一、整式的四则运算 1. 整式的加减 合并同类项是重点，也是难点。
合并同类项时要注意以下三点。
2.整式的乘法公式讲解
(a+b)(a+b)=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 或者 （a-b） (a-b)=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 归纳 这两个公式叫做完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍。
我们通常表示为： （a±b）^2=a^2±2ab+b^2 注： 通常a,b是表示一个整体的代数式，不一定是数，例如：[（3x-y）-(2x+2y)][(3x-y)+(2x+2y)]=5x^2+6xy+y^2 [编辑本段]常见错误 完全平方公式中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误； （错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。[编辑本段]学习方法及例题 一、理解公式左右边特征 （一）学会推导公式（这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的），真实体会随意“创造”的不正确性； （二）学会用文字概述公式的含义： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 与都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式. （三）这两个公式的结构特征是： 1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍； 2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）； 3、公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式. （四）两个公式的统一： 因为 所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。 二、把握运用公式四步曲： 1、“察”：计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用相应乘法法则进行计算. 2、“导”：正确地选用完全平方公式，关键是确定式子中a、b分别表示什么数或式. 3、“算”：注意每步的运算依据，即各个环节的算理。
4、“验”：完成运算后学会检验，既回过头来再反思每步的计算依据和符号等各方面是否正确无误，又可通过多项式的乘法法则进行验算，确保万无一失。 三、掌握运用公式常规四变 （一）、变符号： 例1：运用完全平方公式计算： （1） (2) 分析：本例改变了公式中a、b的符号，处理方法之一：把两式分别变形为再用公式计算（反思得：）；方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算（此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于理解不会混淆）； （二）、变项数： 例2：计算： 分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行计算. （三）、变结构 例3：运用公式计算： （1）(x+y)·（2x+2y）; (2)(a+b)·（-a-b）; (3)(a-b)·（b-a） 分析；本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即 （1）(x+y)·（2x+2y）=2(x+y)?; (2)(a+b)·（-a-b）=-(a+b)?; (3)(a-b)·（b-a）=-(a-b)？ （四）、简便运算 例4：计算：（1）9992(2)100.12 分析：本例中的999接近1000,100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算。即：（1）。
四、学会公式运用中三拓展 1、公式的混用 例5：计算： （l）(x+y+z)(x+y-z) (2)(2x-y+3z)(y-3z-2x) 分析：此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。故可考虑把相同的项和互为相反数的项分别结合构造成平方差公式计算后，再运用完全平方公式等计算。
即：（1）(x+y+z)(x+y-z)=[(x+y)+z][(x+y)-z]=… （2）(2x-y+3z)(y-3z+2x)=[2x-(y-3z)][(2x+(y-3z)]=…2、公式的变形： 熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求知值的关键。 例6：已知实数a、b满足（a+b）2=10,ab=1。
求下列各式的值： （1）a2+b2;(2)(a-b)2 分析：此例是典型的整式求值问题，若按常规思维把a、b的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径。即：（1）a2+b2=(a+b)2-2ab=… （2）(a-b)2=(a+b)2-4ab=… 3、公式的逆用： 例7：计算： 分析：本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式的右边，不妨把公式倒过来用可得：==4(a+b)(a-b)=a^2-b^2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式。
[编辑本段]说明 当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式。这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了。
而它们的积等于乘式中这两个数的平方差，即a^-b^ =(a+b)(a-b) 两数和於这两数差的基，等於它们的平方差。 [逆推导。
3.整式乘法运算的几种常用技巧
在整式的计算、化简、求值中，若能正确、灵活地运用法则、公式，并且掌握某些运算技巧，就能使代数运算变得十分简洁.下面归纳、总结，供同学们学习时参考. .适当变形，运用公利侧考分析计算：（‘一5）(l一勃一1).. （'一制.：直接计算，要计算10个减法运算、10个乘侧夕化简：（x+即-32）(x一勿+3z).分析：两个含有三项的多项式相乘，需相乘9次，再合并同类项，这是一项多么麻烦的计算！现在我们来观察因式（x+即一3：）、（x一即十玉），不难发现即一3z和~2少+玉互为相反数，于是想到将x一寿+3z变形为二-（即一3z），从而便可以运用平方差公式来计算.解：原式二〔x+（即一3z）〕〔x一（即一3z）」=x2一（即一32）2 =x七（分一12yz+卯） =x Zee州+l如一922.侧2计算：（2+x）(22+l)(24+1)(28+一)（2,6+1）.分析：此题若是直接计算，指数大，太繁了！从所求式子看，是5个两数和的积，要是能出现相对应的两数差就好了，以便运用平方差公式.由（2+l）这个因数启发我们：将所求式子乘1，即将所求式子乘以（2一l），就会连续出现。
4.初一下 整式的乘除 的性质,要点和意义
整式和整式的乘法
整式可以分为定义和运算，定义又可以分为单项式和多项式，运算又可以分为加减和乘除。
加减包括合并同类项，乘除包括基本运算、法则和公式，基本运算又可以分为幂的运算性质，法则可以分为整式、除法，公式可以分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂。
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加。
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
单项式与单项式相乘有以下法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
单项式与多项式相乘有以下法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘有下面的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。
完全平方公式：两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两积的2倍。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
整式是代数式中最基本的式子，引进整式是实际的需要，也是学习后续内容（例如分式、一元二次方程等）的需要。整式是在以前学习了有理数运算、列简单的代数式、一元一次方程及不等式的基础上引进的。事实上，整式的有关内容在六年级已经学习过，但现在的整式内容比过去更加强了应用，增加了实际应用的背景。
本章知识结构框图：
本章有较多的知识点属于重点或难点，既是重点又是难点的内容为如下三个方面。
一、整式的四则运算
1. 整式的加减
合并同类项是重点，也是难点。合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变。
2. 整式的乘除
重点是整式的乘除，尤其是其中的乘法公式。乘法公式的结构特征以及公式中的字母的广泛含义，学生不易掌握。因此，乘法公式的灵活运用是难点，添括号（或去括号）时，括号中符号的处理是另一个难点。添括号（或去括号）是对多项式的变形，要根据添括号（或去括号）的法则进行。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为，一般多项式的乘除都要“转化”为单项式的乘除。
整式四则运算的主要题型有：
(1)单项式的四则运算
此类题目多以选择题和应用题的形式出现，其特点是考查单项式的四则运算。
(2)单项式与多项式的运算
此类题目多以解答题的形式出现，技巧性强，其特点为考查单项式与多项式的四则运算。
二、因式分解
难点是因式分解的四种基本方法（提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法）。因式分解是整式乘法的逆向变形，因式分解的方法的引入要紧紧抓住这一点。
5.如何整理课本上十四章整式的乘法与因式分解
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法.而在竞赛上，又有拆项和添项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法，剩余定理法等. 基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式. 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的. ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法. 平方差公式：a²-b²=（a+b）(a-b)； 完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）²； 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍. 立方和公式：a³+b³=（a+b）(a²-ab+b²)； 立方差公式：a³-b³=（a-b）(a²+ab+b²)； 完全立方公式：a³±3a²b+3ab²±b³=（a±b）³. ⑶分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识. 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
6.整式乘法运算的几种常用技巧求解答
在整式的计算、化简、求值中，若能正确、灵活地运用法则、公式，并且掌握某些运算技巧，就能使代数运算变得十分简洁.下面归纳、总结，供同学们学习时参考. .适当变形，运用公利侧考分析计算：（‘一5）(l一勃一1)..·（‘一制.：直接计算，要计算10个减法运算、10个乘侧夕化简：（x+即-32）(x一勿+3z).分析：两个含有三项的多项式相乘，需相乘9次，再合并同类项，这是一项多么麻烦的计算！现在我们来观察因式（x+即一3：）、（x一即十玉），不难发现即一3z和~2少+玉互为相反数，于是想到将x一寿+3z变形为二-（即一3z），从而便可以运用平方差公式来计算.解：原式二〔x+（即一3z）〕〔x一（即一3z）」=x2一（即一32）2 =x七（分一12yz+卯） =x Zee州+l如一922.侧2计算：（2+x）(22+l)(24+1)(28+一)（2,6+1）.分析：此题若是直接计算，指数大，太繁了！从所求式子看，是5个两数和的积，要是能出现相对应的两数差就好了，以便运用平方差公式.由（2+l）这个因数启发我们：将所求式子乘1，即将所求式。
7.整式的乘除与因式分解总结
一、教科书内容和课程学习目标
（一）本章知识结构框图
（二）教科书内容
本章共包括4节
15.1 整式的乘法
整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，教科书把它们依次安排在前三个小节中，教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。
在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第四小节安排一般整式乘法的教学内容。首先是单项式与单项式相乘，由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是熟练地进行单项式与单项式相乘，因此，对于单项式与单项式相乘的教学应该予以充分重视。在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上，教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，这样使整式乘法运算的教学从简到繁，由易到难，层层递进。
15.2 乘法公式
本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式。
乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题，教科书在本节开始首先指出了这一点。接着，在第一小节安排了平方差公式的教学，教科书首先安排了下一个“探究”栏目，安排了3个题目，让学生通过计算，总结三个题目结果的共同点，发现其中的规律。接着，教科书推证了平方差公式，并进一步借助于几何图形对公式作了直观解释，让学生能更好地理解此公式。最后，举例说明运用平方差公式进行有关的计算。第二小节教科书设计了与第一小节类似的教学过程，引进了乘法的完全平方公式。
为了满足整式运算的需要，在本小节引进了添括号法则，这也是很重要的整式运算知识。
15.3 整式的除法
整式的除法也是整式四则运算的重要组成部分。本节也分为两个小节。同底数幂的除法是学习整式除法的基础和关键，因此教科书在第一小节中首先介绍同底数幂除法的性质。对于同底数幂除法，这里只先讨论所得商仍是整式的情形，对于所得商是分式的情形将在后续内容引入负整数指数幂的概念以后再讨论。
能熟练地进行单项式除以单项式的除法是进行多项式除以单项式等一般的整式除法的前提。在第二小节，教科书根据乘、除互为逆运算的关系，并以分配律、同底数幂的除法为依据，由计算具体的实例得到单项式除以单项式的除法法则。同样地，对于单项式除以单项式的除法，讨论的问题也都在被除式中字母的指数大于或等于除式中字母的指数的限制条件范围内。
对于多项式除以单项式，教科书是从计算来导出运算法则的，根据是乘除法互为逆运算以及分配律。可以看出，法则的基本点是把多项式除以单项式转化为单项式的除法，而单项式除法是已经学习并掌握了的。
在本章中，不讨论多项式除以多项式等一般性的问题。
15.4 因式分解
因式分解是解析式的一种恒等变形，因式分解不但在解方程等问题中极其重要，在数学科学其他问题和一般科学研究中也具有广泛应用，是重要的数学基础知识。因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、待定系数法等。本教科书安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法。两种方法分别安排在第1和第2小节。
