二次根式梳理()
1.
二次根式
I.定义：
形如√ā（a≥0）的式子叫做二次根式。
II.二次根式√ā的范围
√ā是一个非负数。即√ā≥0。
当a>0时，√ā表示a的算术平方根。
当a=0时，√ā表示0的算术平方根，即0。
III.计算公式：
1.（√ā）²=a(a≥0)
2.当a>0时，√ā²=a
当a=0时，√ā²=0
当a3. √ā*√ō=√āō（a≥0, o≥0）
√ā÷√ō=√（ā÷ō） （a≥0, o≥0）
IV.最简二次根式
条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因式。
V.二次根式的加减
先将二次根式各项化为最简二次根式，再把被开方数相同的根式合并。
注：二次根式有双重非负数性.
2.初二数学二次根式的知识点
I.二次根式的定义和概念： 1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。
当a>0时，√a表示a的算数平方根，√0=0 2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一个非负数。
II.二次根式√ā的简单性质和几何意义 1)a≥0 ； √ā≥0 [ 双重非负性 ] 2）（√ā）^2=a (a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式] 3） √（a^2+b^2）表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。III.二次根式的性质和最简二次根式 1）二次根式√ā的化简 a(a≥0) √ā=|a|={ -a(a 2)积的平方根与商的平方根 √ab=√a·√b(a≥0,b≥0) √a/b=√a /√b(a≥0,b>0) 3）最简二次根式 条件： （1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式； （2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a(a≥0)、√x+y 等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等IV.二次根式的乘法和除法 1 运算法则 √a·√b=√ab(a≥0,b≥0) √a/b=√a /√b(a≥0,b>0) 二数二次根之积，等于二数之积的二次根。 2 共轭因式 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。
V.二次根式的加法和减法 1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并Ⅵ.二次根式的混合运算 1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化VII.分母有理化 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 如：√a/√b=√a*√b/√b*√b=√ab/b II.分母是多项式 要利用平方差公式 如1/√a+√b=√a-√b/（√a+√b）（√a-√b）=√a-√b/a-b 如图 II.分母是多项式 要利用平方差公式 如1/√a+√b=√a-√b/（√a+√b）（√a-√b）=√a-√b/a-b。
3.二次根式知识点
知识点总结
方法，和加减乘除一样，开根号也是一种运算，只不过这个运算有新的规则。
学数学的话，从考试的角度看，要学好两个东西：一是基本概念和公式，另一鼍个就是题型了。接下来先说说基本概念，然后再说一些题型。
学概念时要学到位，这样做题时就会有自信，因为遇到难题时，你知道所有的东西都在这了，不会害怕还有什么别的怪招。
规则1：只能对正数和0开根号，负数暂时是不能开的（是暂时，以后你上高中了，负数也可以开）。注意是所有的正数，包含整数，小数等。
规则2：除一些特殊的数，对一个具体的数如3，开二次根号，结果是多少，不能精确的用带小数的数表示出来。这个不像+-*÷，所以你别指望手算能把根号3的结果写出来，计算器上得的结果也只是近似值而已。所以根号3的结果就是根号3，要用根号表示，这个要明白。根号3就表示一个数，他的值大概是1.732。
规则3：开二次根号和平方的运算是一对逆运算，所以他们俩总有千丝万缕的联系。平方运算也只是乘法运算而已，不是新的运算。逆运算就是，如果：
a^2=b <=> a=根号b。（这里a>=0，双向箭头表示左右两边可以互推出）
二次根式运算就和平方互为逆运算。上面你可以由a^2=b 写出a=根号b，也可以由 a=根号b写出a^2=b。
就这样，有这个关系式，你想怎么写a和b之间的关系就怎么写，一切的关系都是有这个基本关系导出的，抓住源头就可以解决其他派生一切问题。
题型：
无非就是用二次根式只能对非负数开根号，它和平方互为逆运算这两条基本定义，其他的都是公用的数学技巧。
这里特别注意，二次根号的结果总是非负的，但平方运算的对象可以是任意的数（因为加减乘除运算对数没有要求的，除了除法运算分母不能为0外）。所以上面如果a是负数，且a^2=b ，则 a=-根号b。例如（-2）^2=4，则-2=-根号4。所以对于一般的a，关系是：
a^2=b <=> a=+/-根号b
像则这样，学数学时，你自己可以举一些简单的例子来证明你自己的想法是否正确。但切记：
要证明一个结论错误，只需举一个例子即可，
但要证明一个结论正确，必须能证明所有的情况下结论都正确。你不能看到一个具体的例子正确，就说明某个一般的结论正确，否则就会犯错误。
例如，2乘1=2，而2除1=2，你不能就据此说a*b=a÷b。
常见考法
二次根式是近几年中考命题的必考内容，主要考查二次根式的定义及化简求值，最简二次根式、同类二次根式的判别等，多以选择、填空题出现。
4.初二数学二次根式的知识点
I.二次根式的定义和概念：
1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a>0时，√a表示a的算数平方根，√0=0
2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一个非负数。
II.二次根式√ā的简单性质和几何意义
1)a≥0 ； √ā≥0 [ 双重非负性 ]
2）（√ā）^2=a (a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]
3） √（a^2+b^2）表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。
III.二次根式的性质和最简二次根式
1）二次根式√ā的化简
a(a≥0)
√ā=|a|={
-a(a2)积的平方根与商的平方根
√ab=√a·√b(a≥0,b≥0)
√a/b=√a /√b(a≥0,b>0)
3）最简二次根式
条件：
(1)被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；
(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a(a≥0)、√x+y 等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等
IV.二次根式的乘法和除法
1 运算法则
√a·√b=√ab(a≥0,b≥0)
√a/b=√a /√b(a≥0,b>0)
二数二次根之积，等于二数之积的二次根。
2 共轭因式
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。
V.二次根式的加法和减法
1 同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2 合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并
Ⅵ.二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化
VII.分母有理化
分母有理化有两种方法
I.分母是单项式
如：√a/√b=√a*√b/√b*√b=√ab/b
II.分母是多项式
要利用平方差公式
如1/√a+√b=√a-√b/（√a+√b）（√a-√b）=√a-√b/a-b
如图
II.分母是多项式
要利用平方差公式
如1/√a+√b=√a-√b/（√a+√b）（√a-√b）=√a-√b/a-b
5.初三的二次根式的全部知识
我可以教你 鄙人初中数学老师 方便的话给个邮箱 给你发过去1.2 实数 1.2.1平方根 1.2.1.1平方根的定义：如果一个数的平方等于 ，这个数就叫做 的平方根（或二次方根），即 ，我们就说 是 的平方根。
1.2.1.2平方根的表示方法：如果 （ >0），则 的平方根 记作 ，“ ”读作“正负根号 ”，其中 读作“二次根号”，2叫做根指数， 叫做被开方数。 1.2.1.3平方根的性质：一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数；0的平方根只有一个，就是0；负数没有平方根。
1.2.1.4开平方的定义：求一个数的平方根的运算就叫做开平方（开平方和平方互为逆运算）。 1.2.2算术平方根 1.2.2.1算术平方根的定义：正数 有两个平方根，其中正数a的正的平方根叫做 的算术平方根，记作 ，读作“根号 ”。
1.2.2.2算术平方根的性质：①具有双重非负性，即： ≥0， ≥0② =a（ ≥0）③ =∣ ∣，当 ≥0时， =∣ ∣= ；当 ≤0时， =∣ ∣=- 1.2.3立方根 1.2.3.1立方根的定义：如果一个数的立方等于 ，这个数就叫做 的立方根（或叫做 的三次方根） 1.2.3.2立方根的表示方法：如果 ，则x叫做a的立方根，记作 ，其中 叫做被开方数，3叫做根指数。 1.2.3.3立方根的性质：①正数有一个立方根，仍为正数，负数有一个立方根，仍为负数，0的立方根仍为0。
② 1.2.3.4开立方的定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方（它与立方互为逆运算） 1.2.4无理数 1.2.4.1无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。 1.2.4.2判断无理数的注意事项：①带根号的数不一定是无理数，如 是有理数，而不是无理数；②无理数不一定是开方开不尽的数，如圆周率 1.2.5实数 1.2.5.1实数的定义：有理数和无理数的统称 1.2.5.2实数的性质：①实数与数轴上的点一一对应②实数a的相反数是-a，实数 的倒数是 （ ≠0）③∣ ∣≥0，∣ ∣=∣- ∣④有理数范围内的运算律、幂的运算法则、乘法公式，在实数范围内同样适用 1.2.5.3两个实数的大小比较：①正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
②在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大③作商法：两个实数相除（除数或分母不为0）。若大于1，则被除数大；若等于1，则两个数相等；若小于1，则除数大。
④作差法：两个有理数相减。若大于0，则被减数大；若等于0，则两个数相等；若小于0，则减数大。
1.2.6二次根式 1.2.6.1二次根式的定义：式子根号a ( a≥0)叫做二次根式。 1.2.6.2二次根式的运算性质：① （ a≥0, a≥0）② （ a≥0, a>0） 1.2.6.3最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式②被开方数中不含能开得尽的因数或因式 1.2.6.4分母有理化定义：在分母含有根式的式子中，把分母中的根号划去的过程叫做分母有理化。
1.2.6.5二次根式的混合运算：应按顺序先做乘方运算，再做乘除运算，最后做加减运算；若有括号，应按小、中、大括号的顺序进行运算。
6.初二数学二次根式复习资料
二次根式小结与复习【主要内容】本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”.主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等.【要点归纳】 1。
二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义. 2。 二次根式的性质：①②③④ 3。
二次根式的运算二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减. （1）二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数.（2）二次根式的乘法：（3）二次根式的除法： 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式. （4）二次根式的混合运算： 先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算.注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便.二次根式运算结果应尽可能化简.另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数.例如不能写成.（5）有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与； ②与；③与； ④与. 说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化.【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义.5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外.即：.（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论.即：6、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有. 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小.。
7.初三的二次根式的全部知识
我可以教你 鄙人初中数学老师 方便的话给个邮箱 给你发过去
1.2 实数
1.2.1平方根
1.2.1.1平方根的定义：如果一个数的平方等于 ，这个数就叫做 的平方根（或二次方根），即 ，我们就说 是 的平方根。
1.2.1.2平方根的表示方法：如果 （ >0），则 的平方根 记作 ，“ ”读作“正负根号 ”，其中 读作“二次根号”，2叫做根指数， 叫做被开方数。
1.2.1.3平方根的性质：一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数；0的平方根只有一个，就是0；负数没有平方根。
1.2.1.4开平方的定义：求一个数的平方根的运算就叫做开平方（开平方和平方互为逆运算）。
1.2.2算术平方根
1.2.2.1算术平方根的定义：正数 有两个平方根，其中正数a的正的平方根叫做 的算术平方根，记作 ，读作“根号 ”。
1.2.2.2算术平方根的性质：①具有双重非负性，即： ≥0， ≥0② =a（ ≥0）③ =∣ ∣，当 ≥0时， =∣ ∣= ；当 ≤0时， =∣ ∣=-
1.2.3立方根
1.2.3.1立方根的定义：如果一个数的立方等于 ，这个数就叫做 的立方根（或叫做 的三次方根）
1.2.3.2立方根的表示方法：如果 ，则x叫做a的立方根，记作 ，其中 叫做被开方数，3叫做根指数。
1.2.3.3立方根的性质：①正数有一个立方根，仍为正数，负数有一个立方根，仍为负数，0的立方根仍为0。②
1.2.3.4开立方的定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方（它与立方互为逆运算）
1.2.4无理数
1.2.4.1无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。
1.2.4.2判断无理数的注意事项：①带根号的数不一定是无理数，如 是有理数，而不是无理数；②无理数不一定是开方开不尽的数，如圆周率
1.2.5实数
1.2.5.1实数的定义：有理数和无理数的统称
1.2.5.2实数的性质：①实数与数轴上的点一一对应②实数a的相反数是-a，实数 的倒数是 （ ≠0）③∣ ∣≥0，∣ ∣=∣- ∣④有理数范围内的运算律、幂的运算法则、乘法公式，在实数范围内同样适用
1.2.5.3两个实数的大小比较：①正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小。②在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大③作商法：两个实数相除（除数或分母不为0）。若大于1，则被除数大；若等于1，则两个数相等；若小于1，则除数大。④作差法：两个有理数相减。若大于0，则被减数大；若等于0，则两个数相等；若小于0，则减数大。
1.2.6二次根式
1.2.6.1二次根式的定义：式子根号a ( a≥0)叫做二次根式。
1.2.6.2二次根式的运算性质：① （ a≥0, a≥0）② （ a≥0, a>0）
1.2.6.3最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式②被开方数中不含能开得尽的因数或因式
1.2.6.4分母有理化定义：在分母含有根式的式子中，把分母中的根号划去的过程叫做分母有理化。
1.2.6.5二次根式的混合运算：应按顺序先做乘方运算，再做乘除运算，最后做加减运算；若有括号，应按小、中、大括号的顺序进行运算。
8.九年级上册数学二次根式知识点归纳
一、本节学习指导
学习二次根式时，
我们把平方根的知识顺带巩固一下。
这就是系统性学习，
这样学习的
好处是把零碎的知识可以系统起来。
本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。
本节知
识适当做练习题即可掌握，本节有配套免费学习视频。
二、知识要点
1
、二次根式的概念
：形如
a
(
a
≥
0
)的式子叫做二次根式。
注意：
在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必
须注意：
因为负数没有平方根，
所以
a
≥
0
是
a
为二次根式的前提条件，
如
5
,
2
1
x
,
等是二次根式，而
5
,
2
x
等都不是二次根式。
2
、取值范围
(
1
)
、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当
a
≧
0
时，
a
有意义，是二次
根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
(
2
)
、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当
a
﹤
0
时，
a
没有意义。
