二元一次方程相关(二元一次方程组的解法和概念)

1.二元一次方程组的解法和概念

二元一次方程组（2张） 1. 认识二元一次方程组的有关概念，会把一些简单的实际问题中的数量关系，用二元一次方程组表示出来。

2. 领会并掌握解二元一次方程组的方法，根据方程组的情况，能恰当地运用“代入消元法”和“加减消元法”解方程组。 3. 体会解二元一次方程组中的“消元”思想，即通过消元把二元一次方程转化成一元一次方程，由此感受“化归”思想的广泛作用，提高分析问题和解决问题的能力。

解方程组 求方程组的解的过程，叫做解方程组。 编辑本段二、知识要点 1. 二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程. 你能区分这些方程吗？5x+3y=75;3x+1=8x;+y=2;2xy=9。

对二元一次方程概念的理解应注意以下几点： ①等号两边的代数式是整式； ②在方程中“元”是指未知数，二元是指方程中含有两个未知数； ③未知数的项的次数都是1，实际上是指方程中最高次项的次数为1，在此可与多项式的次数进行比较理解，切不可理解为两个未知数的次数都是1. (2)二元一次方程的解 使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解. 对二元一次方程的解的理解应注意以下几点： ①一般地，一个二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值； ②二元一次方程的一个解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值；反过来，如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组数值就是方程的解； ③在求二元一次方程的解时，通常的做法是用一个未知数把另一个未知数表示出来，然后给定这个未知数一个值，相应地得到另一个未知数的值，这样可求得二元一次方程的一个解. 你能试着解方程3x-y=6吗？ 2. 二元一次方程组 （1）二元一次方程组：由两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组. （2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 对二元一次方程组的理解应注意： ①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起. ②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解. 3. 代入消元法 （1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法. （2）代入法解二元一次方程组的步骤 ①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数； ②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的. ）； ③解这个一元一次方程，求出未知数的值； ④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解； ⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）. 4. 加减消元法 （1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法. （2）加减法解二元一次方程组的步骤 ①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式； ②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）； ③解这个一元一次方程，求出未知数的值； ④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解； ⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）. 编辑本段三、重点难点 本节重点内容是二元一次方程组的概念以及如何用代入法和加减法解二元一次方程组，难点是根据方程的具体形式选择合适的解法。 典型例题 例1. 下列各方程中，哪个是二元一次方程？ （1）8x-y=y;(2)xy=3;(3)2x-y=9;(4)=2. 分析：此题判断的根据是二元一次方程的定义. 由于方程（2）中含未知数的项xy的次数是2，而不是1，所以xy=3不是二元一次方程；2x-y=9是二元一次方程；又因为方程（4）中的不是整式，所以=2也不是二元一次方程. 解：方程8x-y=y,2x-y=9是二元一次方程；xy=3,=2不是二元一次方程. 评析：判定某个方程是不是二元一次方程，可先把它化成一般形式，再根据定义进行判断. 例2. 已知是方程组的解，求m+n的值。

2.二元一次方程详解

1.已知二元一次方程X/3-Y/4=1，当X=0时，Y=？当X=？时Y=0

解：将方程化为y=4(x/3-1)

当x=0时，y=4X(-1)=-4

当y=0时，x/3-1=0

解得x=3

2.已知关于XY的方程{A+2Y=10 的解是{X=-2 那么A=? B=?

{4X+BY=2A-1 {Y=3

解：将x=-2,y=3代入方程组得

A=10-2*3=4

-2*4+3B=2*4-1

B=(16-1)/3=5

所以A=4,B=5

3. 若3X-Y-1+(X+Y)2=0则X=?Y=?

解：此题有问题

随便取x=-1，则有-3-y-1+(-1+y)^2=0

y^2-3y-3=0,y有两个值

再随便取x=0，则有y^2-y-1=0,y依然有两个值

再随便取x=-2，则有-6-y-1+(-2+y)^2=0

y^2-5y-3=0,y还是有两个值

开玩笑，你继续举无穷个例，y有无穷个值，别出这样的题来糊人。

楼上说无解，不准，是有无穷解。这是两码事。

4.{m/2-N/2=2

{2M=3N=4

解：由2式得

M=2,N=4/3

代入一式，知道你的题抄错了。仅此而以

5.{5X-2Y=3

{X=6Y=11

解：由二式得

x=11,y=11/6

代入一式，知道，你的题又抄错了。还是这样而以

6.已知方程AX=BY=11的两个解是{X=1 {X=5 求A、B 的值

{Y=-4 {Y=2

代入第一组解得

A=11,B=-11/4

代入第二组解得

A=11/5

B=11/2

这样的学习态度。

7.{X/3-Y/2=-5

{X/7-Y/4=-1

去分母得

2X-3Y=-30

4X-7Y=-28

一式X2-二式得

Y=-32

X=-63

就这题还没出问题。

3.二元一次方程的简介

1. 含有两个未知数，且未知数的次数是1的方程，叫做二元一次方程。

2. 任何一个二元一次方程都是不定方程。即它有无数组解。

如： x + y = 5 的解有：

…………

x = - 3 , y = 8

x = - 2, y = 7

x = - 1, y = 6

x = 0 , y = 5

x = 1, y = 4

x = 2, y = 3

…………

这还没算小数解和无理数解。

3. 一个二元一次方程，就是一个x、y之间的关系，或者说是一个解题条件。

由于二元一次方程组含有两个未知数，所以要解决它，得有两个条件，这也就是二元一次方程问题都是以方程组的形式出现的原因。

4. 一元一次方程已经学过，会解！那么解决二元一次方程的思路就是通过“同解变形”，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解问题。化繁为简，这也符合人类认识世界的思维习惯。

5. 解二元一次方程组初二只学两种方法：加减消元法、代入消元法

一个题到底使用哪种方法，要看题的系数情况：

如果 x 的系数或y的系数相等，就用“加减消元法” （方程① - 方程②）

如果 x 的系数或y的系数互为相反数，也用“加减消元法” （方程① + 方程②）

如果两个方程中有一个方程的一个未知数的系数是 1或 -1 就用代入消元法。

如果没有以上系数特征，随便选一种方法，都可。

6. 在大学数学里还有两种方法：行列式法、增广矩阵法，听起来怕怕，其实也很简单。

7. 当然了，也可以使用一次函数图像知识，用图像法解决。

4.二元一次方程的所有解法与原理

解二元一次方程组的主要思路就是消元，把二元一次方程组变为一元一次方程来求解

常用的有加减消元和代入消元两种

下面针对本题，分别用两种方法做一下

1.加减消元

3x-2y=11…………①

2x+3y=16…………②

①*3，②*2，原方程组变为

9x-6y=33…………③

4x+6y=32…………④

③+④，得：

13x=65

x=5

代入①，得：

3*5-2y=11

15-2y=11

2y=4

y=2

2.代入消元

3x-2y=11…………①

2x+3y=16…………②

由①，得：

y=(3x-11)/2

代入②，得：

2x+3(3x-11)/2=16

现在就成了一个一元一次方程

同时乘2，得：

4x+3(3x-11)=32

4x+9x-33=32

13x=65

x=5

y=(3*5-11)/2=2