反函数教学视(反函数知识有哪些)

1.反函数知识有哪些

一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)。

则y=f(x)的反函数为y=f-1(x)。 存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的） 【反函数的性质】 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称； （2）函数存在反函数的充要条件是，函数在它的定义域上是单调的； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）偶函数一定不存在反函数，奇函数不一定存在反函数。

若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 （5）一切隐函数具有反函数； （6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。

（8）反函数是相互的 （9）定义域、值域相反对应法则互逆 （10）不是所有函数都有反函数如y=x的偶次方 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换，则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)。

2.怎样画反函数图像和求反函

在教学过程中可以引导学生仿照正比例函数图象的的画法。

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值。 强调注意： ① x≠0 ②列表时自变量取值易于计算，易于描点。

（2）描点。以表中对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点。

连线。 按照自变量由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连接起来。

（4）观察图象与一次函数的图象作对比。 总结作反比例函数图象注意的问题。

（1）。列表时，选取的自变量的值，既要易于计算，又要便于描点，尽量多取一些数值（取互为相反数的一对一对的数），多描一些点，这样既可以方便连线，又可以使图象精确。

（2）。描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把点的位置描错。

（3）。一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线，连线时必须用光滑的曲线连接各点，不能用折线连接。

（4）。图像是延伸的，注意不要画成有明确端点。

（5）。曲线的发展趋势只能靠近坐标轴，但不能和坐标轴相交。

3.常见反函数

x=f⁻¹（y） 。

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y) 。反函数x=f -1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)，则y=f(x)的反函数为x=f-1(y)。

存在反函数（默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的是函数幂，但不是指数幂。

4.关于反函数

反函数定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y),x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. [编辑本段]反函数性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称； （2）函数存在反函数的必要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a,x∈{0}）。

奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。

若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 （5）一切隐函数具有反函数； （6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。

（8）反函数是相互的 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） （10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换，则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)(x属于R) (11)反函数的导数关系：如果X=F(X)在区间I上单调，可导，且F'(Y)不等于0，那么他的反函数Y=F'(X)在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导，且[F'(X)]'=1\F'(Y)。 [编辑本段]反函数说明 ⑴在函数x=f'(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f'(y)中的字母x,y，把它改写成y=f'(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。

⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f'(x)，那么函数y=f'(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f'(x)互为反函数。 ⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f'(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f'(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f'(x)的定义域（如下表）： 函数：y=f(x) 反函数：y=f'(x) 定义域： A C 值域： C A ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为： 若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f'(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f'(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt，则它的反函数就可以写为f'(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f'(x)=x/2-3. 有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X进行分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。

一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a [编辑本段]反函数应用 直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的： 1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域； （我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步） 2、反解x，也就是用y来表示x; 3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x; 4、写出原函数及其值域。 实例：y=2x+1（值域：任意实数） x=(y-1)/2 y=(x-1)/2(x取任意实数) 特别地，形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都是它本身。

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5.急需反三角函数的知识

反三角函数就是三角函数的反函数。

公式：反三角函数和三角函数关系计算公式Secant（正割） Sec(X)=1/Cos(X) Cosecant（余割） Cosec(X) =1/Sin(X) Cotangent（余切） Cotan(X) =1/Tan(X) Inverse Sine（反正弦） Arcsin(X) = Atn(X / Sqr(-X * X + 1)) Inverse Secant（反正割）Arcsec(X)=Atn(X/Sqr(X* X-1))+Sgn((X)- 1) * (2 * Atn(1)) Inverse Cosecant（反余割） Arccosec(X) =Atn(X/Sqr(X*X-1))+(Sgn(X)- 1)*(2*Atn(1)) Inverse Cotangent（反余切） Arccotan(X)=Atn(X)+2*Atn(1)。