数学的基本思想与方法(数学常用的数学思想方法)

1.数学常用的数学思想方法有哪些

数学常用的数学思想方法主要有：用字母表示数的思想，数形结合的思想，转化思想 （化归思想），分类思想，类比思想，函数的思想，方程的思想，无逼近思想等等。

1.用字母表示数的思想：这是基本的数学思想之一 .在代数第一册第二章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。

2.数形结合：是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。

3.转化思想：在整个初中数学中，转化（化归）思想一直贯穿其中。转化思想是把一个未知（待解决）的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想，它是数学基本思想方法之一。

4.分类思想：有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论的。

5.类比：类比推理在人们认识和改造客观世界的活动中具有重要意义.它能触类旁通，启发思考，不仅是解决日常生活中大量问题的基础，而且是进行科学研究和发明创造的有力工具.

6.函数的思想 ：辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学。

7.方程：是初中代数的主要内容.初中阶段主要学习了几类方程和方程组的解法，在初中阶段就要形成方程的思想.所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，

扩展资料：

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用。

参考资料：百度百科-数学思想

2.数学思想方法有哪几种

中学数学重要数学思想 函数方程思想 函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。

1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想； 2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想； 3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。 数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形），这种解决问题的方法称之为数形结合。

1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。 2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。

这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。

3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。 4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。”

数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系. 5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）。而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。

6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领： （1） 对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可； （2） 对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点，顶点是关键点），作好知识的迁移与综合运用； （3） 对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的。 分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。

1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： （1）涉及的数学概念是分类讨论的； （2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的； （3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性； （4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的； （5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。 2.分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。

根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏 ，包含各种情况，同时要有利于问题研究。 化归与转化思想 所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。

一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题，将难解问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。 立体几何中常用的转化手段有 1.通过辅助平面转化为平面问题，把已知元素和未知元素聚集在一个平面内，实现点线、线线、线面、面面位置关系的转化； 2.平移和射影，通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题，化未知为已知的目的； 3.等积与割补； 4.类比和联想； 5.曲与直的转化； 6.体积比，面积比，长度比的转化； 7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。

解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为一体。

3.一般的数学思想方法有哪些

1 函数思想

把某一数学问题用函数表示出来，并且利用函数探究这个问题的一般规律。

2 数形结合思想

把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答。

3 整体思想

整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

4 转化思想

在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。

5 类比思想

把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

扩展资料：

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。

它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。

我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系。

实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。

② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

参考资料：搜狗百科-数学思想方法

4.数学的思想方法有二十种有哪些

一、用字母表示数的思想

这是基本的数学思想之一 .在代数第一册第二章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。

例如： 设甲数为a，乙数为b，用代数式表示：（1）甲乙两数的和的2倍：2(a+b)(2)甲数的2倍与乙数的5倍差：2a-5b

二、数形结合的思想

“数形结合”是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括.数学教材中下列内容体现了这种思想。

1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。

2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。

3、函数式与图像之间的关系。

4、线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。

5、解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决何问题。

6、“圆”这一章中，圆的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。

7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。

三、转化思想 （化归思想）

在整个初中数学中，转化（化归）思想一直贯穿其中。转化思想是把一个未知（待解决）的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想，它是数学基本思想方法之一。下列内容体现了这种思想：

1、分式方程的求解是分式方程转化为前面学过的一元二次方程求解，这里把待解决的新问题化为已解决的问题来求解，体现了转化思想。

2、解直角三角形；把非直角三形问题化为直角三角形问题；把实际问题转化为数学问题。

3、证明四边形的内角和为360度.是把四边形转化成两个三角形的.同时探索多边形的内角和也是利用转化的思想的.

四、分类思想

有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论的。

5.数学方法和思想有哪些

1.函数思想：

把某一数学问题用函数表示出来，并且利用函数探究这个问题的一般规律。这是最基本、最常用的数学方法。

2.数形结合思想：

把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。例如求根号（（a-1）^2+(b-1)^2）+根号（a^2+(b-1)^2）+根号（（a-1）^2+b^2）+根号（a^2+b^2）的最小值，就可以把它放在坐标系中，把它转化成一个点到（0,1）、（1,0）、（0,0）、（1,1）四点的距离，就可以求出它的最小值。

3.分类讨论思想：

当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。比如解不等式|a-1|>4的时候，就要讨论a的取值情况。

4.方程思想：

当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。

另外，还有归纳类比思想、转化归纳思想、概率统计思想等数学思想，例如利用归纳类比思想可以对某种相类似的问题进行研究而得出他们的共同点，从而得出解决这些问题的一般方法。转化归纳思想是把一个较复杂问题转化为另一个较简单的问题并且对其方法进行归纳。概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题，如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析等等。另外，还可以用概率方法解决一些面积问题。

6.小学数学里有哪些基本的数学思想方法

对于那些成绩较差的小学生来说，学习小学数学都有很大的难度，其实小学数学属于基础类的知识比较多，只要掌握一定的技巧还是比较容易掌握的.在小学，是一个需要养成良好习惯的时期，注重培养孩子的习惯和学习能力是重要的一方面，那小学数学有哪些技巧？

一、重视课内听讲，课后及时进行复习.

新知识的接受和数学能力的培养主要是在课堂上进行的，所以我们必须特别注意课堂学习的效率，寻找正确的学习方法.在课堂上，我们必须遵循教师的思想，积极制定以下步骤，思考和预测解决问题的思想与教师之间的差异.特别是，我们必须了解基本知识和基本学习技能，并及时审查它们以避免疑虑.首先，在进行各种练习之前，我们必须记住教师的知识点，正确理解各种公式的推理过程，并试着记住而不是采用"不确定的书籍阅读".勤于思考，对于一些问题试着用大脑去思考，认真分析问题，尝试自己解决问题.

二、多做习题，养成解决问题的好习惯.

如果你想学好数学，你需要提出更多问题，熟悉各种问题的解决问题的想法.首先，我们先从课本的题目为标准，反复练习基本知识，然后找一些课外活动，帮助开拓思路练习，提高自己的分析和掌握解决的规律.对于一些易于查找的问题，您可以准备一个用于收集的错题本，编写自己的想法来解决问题，在日常养成解决问题的好习惯.学会让自己高度集中精力，使大脑兴奋，快速思考，进入最佳状态并在考试中自由使用.

三、调整心态并正确对待考试.

首先，主要的重点应放在基础、基本技能、基本方法，因为大多数测试出于基本问题，较难的题目也是出自于基本.所以只有调整学习的心态，尽量让自己用一个清楚的头脑去解决问题，就没有太难的题目.考试前要多对习题进行演练，开阔思路，在保证真确的前提下提高做题的速度.对于简单的基础题目要拿出二十分的把握去做；难得题目要尽量去做对，使自己的水平能正常或者超常发挥.

由此可见小学数学的技巧就是多做练习题，掌握基本知识.另外就是心态，不能见考试就胆怯，调整心态很重要.所以大家可以遵循这些技巧，来提高自己的能力，使自己进入到数学的海洋中去.

7.高中数学的基本思想方法有哪些

高中数学基本数学思想1.转化与化归思想：是把那些待解决或难解决的问题化归到已有知识范围内可解问题的一种重要的基本数学思想.这种化归应是等价转化，即要求转化过程中的前因后果应是充分必要的，这样才能保证转化后所得结果仍为原题的结果. 高中数学中新知识的学习过程，就是一个在已有知识和新概念的基础上进行化归的过程.因此，化归思想在数学中无处不在. 化归思想在解题教学中的的运用可概括为：化未知为已知，化难为易，化繁为简.从而达到知识迁移使问题获得解决.但若化归不当也可能使问题的解决陷入困境. 例证2.逻辑划分思想（即分类与整合思想）：是当数学对象的本质属性在局部上有不同点而又不便化归为单一本质属性的问题解决时，而根据其不同点选择适当的划分标准分类求解，并综合得出答案的一种基本数学思想.但要注意按划分标准所分各类间应满足互相排斥，不重复，不遗漏，最简洁的要求. 在解题教学中常用的划分标准有：按定义划分；按公式或定理的适用范围划分；按运算法则的适用条件范围划分；按函数性质划分；按图形的位置和形状的变化划分；按结论可能出现的不同情况划分等.需说明的是： 有些问题既可用分类思想求解又可运用化归思想或数形结合思想等将其转化到一个新的知识环境中去考虑，而避免分类求解.运用分类思想的关键是寻找引起分类的原因和找准划分标准. 例证3. 函数与方程思想（即联系思想或运动变化的思想）：就是用运动和变化的观点去分析研究具体问题中的数量关系，抽象其数量特征，建立函数关系式，利用函数或方程有关知识解决问题的一种重要的基本数学思想.4. 数形结合思想：将数学问题中抽象的数量关系表现为一定的几何图形的性质（或位置关系）；或者把几何图形的性质（或位置关系）抽象为适当的数量关系，使抽象思维与形象思维结合起来，实现抽象的数量关系与直观的具体形象的联系和转化，从而使隐蔽的条件明朗化，是化难为易，探索解题思维途径的重要的基本数学思想.5. 整体思想：处理数学问题的着眼点或在整体或在局部.它是从整体角度出发，分析条件与目标之间的结构关系，对应关系，相互联系及变化规律，从而找出最优解题途径的重要的数学思想.它是控制论，信息论，系统论中“整体—部分—整体”原则在数学中的体现.在解题中，为了便于掌握和运用整体思想，可将这一思想概括为：记住已知（用过哪些条件？还有哪些条件未用上？如何创造机会把未用上的条件用上？），想着目标（向着目标步步推理，必要时可利用图形标示出已知和求证）；看联系，抓变化，或化归；或数形转换，寻求解答.一般来说，整体范围看得越大，解法可能越好.在整体思想指导下，解题技巧只需记住已知，想着目标， 步步正确推理就够了.中学数学中还有一些数学思想，如：集合的思想； 补集思想； 归纳与递推思想； 对称思想； 逆反思想； 类比思想； 参变数思想 有限与无限的思想；特殊与一般的思想.它们大多是本文所述基本数学思想在一定知识环境中的具体体现.所以在中学数学中，只要掌握数学基础知识，把握代数，三角，立体几何，解析几何的每部分的知识点及联系，掌握几个常用的基本数学思想和将它们统一起来的整体思想，就定能找到解题途径.提高数学解题能力.数学解题中转化与化归思想的应用 数学活动的实质就是思维的转化过程，在解题中，要不断改变解题方向，从不同角度，不同的侧面去探讨问题的解法，寻求最佳方法，在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题；2、简单化原则，即将复杂问题转化为简单问题；3、直观化原则，即将抽象总是具体化.策略一：正向向逆向转化 一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150 B、147 C、144 D、141 分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了.10个点中任取4个点取法有 种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有 种，同理其余3个面内也有 种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种， 不共面取法有 种，应选（D）.策略二：局部向整体的转化 从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体所有棱长都是 ，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为（ ） A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出。