所谓数学思想方法是对数学知识的本质认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点,他在认识活动中被反复运用,带有普遍的指导意义,是建立数学和用数学解决问题的指导思想;是在数学地提出问题、解决问题(包括数学内部问题和实际问题)过程中,所采用的各种方式、手段、途径等。
初中数学中常用的数学思想方法有:化归思想方法、分类思想方法、数形结合的思想方法、函数思想方法、方程思想方法、模型思想方法、统计思想方法、用字母代替数的思想方法、运动变换的思想方法等。
山西省朔州市平鲁区李林中学 刘娟娟
数学是研究现实世界中数量关系和空间形成的一门科学。随着科学技术的不断发展,数学也从原始形态的数量关系向抽象化的数量关系发展。在发展的过程中,不仅建立了严密的理论体系,而且形成了一整套的数学思想方法。本文结合有关的例题,对数学中常用的几种思想方法作一番探讨。
一、数形结合的思想方法
数形结合思想方法就是把抽象的数学符号语言和直观的几何图形联系起来,把抽象思维与形象思维相结合,通过“以形助数” 、“以数解形” ,使抽象问题具体化,复杂问题简单化,从而达到解答目的。
数形结合应用甚广,不仅在解选择题、填空题中显示它的优越性,而且在解某些抽象数学问题时也起到事半功倍的效果。“以数解形” 是解析几何的主线,“以形助数” 是数形结合的研究重点。如何“以数转形”是数形结合的关键,图解法是数形结合的具体体现。数形结合是近年中、高考重点考查的思想方法之一。下面我们结合下面的例子作简单的分析:
例1. 已知 0的实根个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个
分析: 判断方程根的个数就是判断图像
两个函数图像,易知两图象只有两个交点,故方程有2个实根,选(B)。
二、函数思想方法
函数思想是数学思想的重要组成部分,在高中数学中起到横向联系和纽带连结的主干作用。用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想。这是一种运动变化和相依关系,以一种状态确定地刻划另一种状态,把它们过渡到研究变化过程的思想方法。函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括,是知识和方法在反复学习与运用中抽象出来的,且带有观念性的指导方法。
函数的思想就是用运动和变化的观点,分析和研究数学问题。具体来说,即先构造函数,把给定问题转化为研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、图象的交点个数、最值、极值等)问题,研究后得出所需要的结论。上面的例1和例2也可以说阐述了这个观点。而函数方程思想就是将数学问题转化为方程或方程组问题,通过解方程(组)或者运用方程的性质来分析、转化问题,使问题得以解决。
必有两个不相等的实根。
分析:此题若用常规解法,求出判别式△是一个关于a 的一元四次多项式,符号不易判断。若用函数思想去分析题意,设函数
要证明命题成立,只需证明函数
的图象与 轴有两个交点,由于它的开口向上,只要找到一个实数
使即可。比如
故函数的图象与 轴有两个交点,因此命题成立。
三、转化思想
人们在长期的实践中,积累了丰富的经验,许多数学问题的解决形成固定的方法模式和程序,我们把这种既定方法和程序的问题称为规范问题。运用某些方法或手段,把一个陌生的、复杂的数学问题转化归结为所熟知的、简单的规范性数学问题来解决的思想方法称为转化思想方法。转化的原则是化陌生为熟知,化繁杂为简单,且转化后的问题与原问题等价。数形结合的思想方法和函数的思想方法都是转化思想方法的具体表现。
数学中转化的途径是多样的,有正面与反面的相互转化,有数与形的相互转化,有客与主的相互转化,有特殊与一般的相互转化,有升维与降维的相互转化等,总之是要将较难解决的问题转化为易解决的基本问题。提倡立体思维,善于从多角度、多方位和多层次去审视问题,另辟蹊径是我们解决问题的最好方法。
1.求代数式的值
这类问题经常是给出一个已知方程或代数式的值,去求另外一个代数式的值,解决的方法是从已知条件出发,将已知条件向所要求的结论转化或者将所要求的目标向已知条件转化,从而达到解决问题的目的。
本例通过一个命题的题设与结论的转化,使他们之间的关系进一步明朗化,从而解决了问题。
2.将函数思想转化为方程(组)问题
通过以上几例,我们可以看到解数学问题的时候,如果能恰当合理地把问题转化,则能启迪思维,简洁巧妙地解决问题,同时也能加强学生的数学思想方法的培养。
总之,上述的三种数学思想方法(即数形结合、函数思想和转化思想),在解决数学问题中具有举足轻重的作用,它不仅可以把一些直接无法解决或陌生的问题转化为易于解决,熟悉的问题来解,而且可以培养学生思维的发散性,灵活性,敏捷性。因此,数学教师在教学工作中,应当长期不断地夯实学生的数学基础,训练学生的基本解题技能,加强培养学生的数学思想思维。只有这样,才能使学生得心应手地运用数学思想方法,也只有这样,往往使运算简捷,推理机敏严密,同时大大提高了学生分析数学问题和解决数学问题的能力。
'2.分类讨论思想所谓分类讨论是指对于复杂的对象,为了研究的需要.根据对象本质属性的相同点和差异性,将对象区分为不同种类,通过研究各类对象的性质,从而认识整体的性质的思想方式。
在分类讨论中要注意标准的同一性.即划分始终是同一个标准、这个标准必须是科学合理的;分域的互斥性.即所分成的各类既要互不包含.义要使各类总和等于讨论的全集;分域的逐级性,有的问题分类后还可在每,类中丙继续分类。运用分类讨论思想指导数学教学,有利于学生归纳、总结所学的数学知识,使之系统化、条理化.并逐步形成一个完整的知识结构网络,这有利于学生严密、清晰、合理地探索解题思路,提高数学思维能力。
在初中数学中需要分类讨沦的问题主要表现个方而:(扮有的数学概念、定理的论证包含多种情况.这类问题需要分类讨论。如平面儿何中二角形的分类、四边形的分类、角的分类、圆周角定理、圆幂定理、弦切角定理等的证明,都涉及到分类i寸论(约解含字毋参数或绝对值符号的为一程、不等式、讨论算术根、正比例和反比例的数中二次项系数、,与图象的开l:]方向等,由于这些参数的取位不同或要去掉绝对值符号就有不同的结果.这类问题需要分类讨论(3)有的数学问题.虽结论惟一但导致这结论的前提不尽相同.这类问题也要分类讨论3一效形结合思想所谓数形结合是指抽象的数学语言与形象直观的图形结合起来.从而实现由抽象向具体转化的一种思维方式。
著名数学家华罗庚说过:数缺形时不直观,形少数时难人微有些数最关系.借助于图形的性质,可以使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化,而图形的一些性质.借助于数量的计算和分析.得以严谨化。在初中阶段,数形结合的形可以是数轴、函数的图象和几何图形等等.它们都具有形象化的特点数形结合思想在初中数学中主要表现在以下两个方面;(l)以形助数,帮助学生深刻理解数学概念如教师可以用数轴上点和实数之间的对应关系来讲清相反数、绝对值的概念以及比较两个数大小的方法;运用函数图象的性质讨沦一元三次方程的根以及讨论一7乙一次小等式等等(2)以数助形,帮助学生简化解题方法。
初中数学中还渗透了类比、归纳、联想等数学思想方法这些思想力一法之间,是相互渗透、互相促进的,在数学教学中要有机地结合起来。
一、用字母表示数的思想
这是基本的数学思想之一 .在代数第一册第二章“代数初步知识”中,主要体现了这种思想。
例如: 设甲数为a,乙数为b,用代数式表示:(1)甲乙两数的和的2倍:2(a+b)(2)甲数的2倍与乙数的5倍差:2a-5b
二、数形结合的思想
“数形结合”是数学中最重要的,也是最基本的思想方法之一,是解决许多数学问题的有效思想。“数缺形时少直观,形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言,是对数形结合的作用进行了高度的概括.数学教材中下列内容体现了这种思想。
1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。
2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。
3、函数式与图像之间的关系。
4、线段(角)的和、差、倍、分等问题,充分利用数来反映形。
5、解三角形,求角度和边长,引入了三角函数,这是用代数方法解决何问题。
6、“圆”这一章中,圆的定义,点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。
7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表,用这些图表的反映数据的分情况,发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况,发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征,这是数形结合思想在实际中的直接应用。
三、转化思想 (化归思想)
在整个初中数学中,转化(化归)思想一直贯穿其中。转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决,如化繁为简、化难为易,化未知为已知,化高次为低次等,它是解决问题的一种最基本的思想,它是数学基本思想方法之一。下列内容体现了这种思想:
1、分式方程的求解是分式方程转化为前面学过的一元二次方程求解,这里把待解决的新问题化为已解决的问题来求解,体现了转化思想。
2、解直角三角形;把非直角三形问题化为直角三角形问题;把实际问题转化为数学问题。
3、证明四边形的内角和为360度.是把四边形转化成两个三角形的.同时探索多边形的内角和也是利用转化的思想的.
四、分类思想
有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类,三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论的。
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