排列的常见方法(排列组合常用方法)

1.排列组合常用方法

加油！！！ 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 （1）从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； （2）限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解； （3）计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； （4）计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。

二、两个基本计数原理及应用 （1）加法原理和分类计数法 1.加法原理 2.加法原理的集合形式 3.分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏） （2）乘法原理和分步计数法 1.乘法原理 2.合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1.首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。

设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c， 可知b由a,c决定， 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1,3,5，……，19或2,4,6,8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。

若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法？ 分析：对实际背景的分析可以逐层深入 （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。 （二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。

（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。 从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数， ∴ 本题答案为：=56。

2.注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合 例3.在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A,B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A,B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。 分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。

第一类：A在第一垄，B有3种选择； 第二类：A在第二垄，B有2种选择； 第三类：A在第三垄，B有一种选择， 同理A、B位置互换 ，共12种。 例4.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。

（A）240 (B)180 (C)120 (D)60 分析：显然本题应分步解决。 （一）从6双中选出一双同色的手套，有种方法； （二）从剩下的十只手套中任选一只，有种方法。

（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种方法； （四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。 例5.身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。

分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有=90种。 例6.在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。

现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法？ 分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。 以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。

第一类：这两个人都去当钳工，有种； 第二类：这两人有一个去当钳工，有种； 第三类：这两人都不去当钳工，有种。 因而共有185种。

例7.现有印着0,l,3,5,7,9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数？ 分析：有同学认为只要把0,l,3,5,7,9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。 抽出的三数含0，含9，有种方法； 抽出的三数含0不含9，有种方法； 抽出的三数含9不含0，有种方法； 抽出的三数不含9也不含0，有种方法。

又因为数字9可以当6用，因此共有2*(+)++=144种方法。 例8.停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是________种。

分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有种停车方法。 3.特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑 例9.六人站成一排，求 （1）甲不在排头，乙不在排尾的排列数 （2）甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数 分析：（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。

第一类：乙在排头，有种站法。 第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法， 共+种站法。

（2）第一类。

2.排列组合常用方法

最低0.27元/天开通百度文库会员，可在文库查看完整内容> 原发布者：520ruiqi 排列组合方法归纳大全复习巩固1.分类计数原理（加法原理）完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法.2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法.3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件.解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步计数原理得练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2.7。

3.常用的排序算法都有哪些

排序算法 所谓排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。

分类 在计算机科学所使用的排序算法通常被分类为： 计算的复杂度（最差、平均、和最好表现），依据串列（list）的大小（n）。一般而言，好的表现是O。

(n log n)，且坏的行为是Ω（n2）。对於一个排序理想的表现是O(n)。

仅使用一个抽象关键比较运算的排序算法总平均上总是至少需要Ω（n log n）。 记忆体使用量（以及其他电脑资源的使用） 稳定度：稳定排序算法会依照相等的关键（换言之就是值）维持纪录的相对次序。

也就是一个排序算法是稳定的，就是当有两个有相等关键的纪录R和S，且在原本的串列中R出现在S之前，在排序过的串列中R也将会是在S之前。 一般的方法：插入、交换、选择、合并等等。

交换排序包含冒泡排序（bubble sort）和快速排序（quicksort）。选择排序包含shaker排序和堆排序（heapsort）。

当相等的元素是无法分辨的，比如像是整数，稳定度并不是一个问题。然而，假设以下的数对将要以他们的第一个数字来排序。

（4, 1） (3, 1) (3, 7) (5, 6) 在这个状况下，有可能产生两种不同的结果，一个是依照相等的键值维持相对的次序，而另外一个则没有： （3, 1） (3, 7) (4, 1) (5, 6) （维持次序） （3, 7） (3, 1) (4, 1) (5, 6) （次序被改变） 不稳定排序算法可能会在相等的键值中改变纪录的相对次序，但是稳定排序算法从来不会如此。不稳定排序算法可以被特别地时作为稳定。

作这件事情的一个方式是人工扩充键值的比较，如此在其他方面相同键值的两个物件间之比较，就会被决定使用在原先资料次序中的条目，当作一个同分决赛。然而，要记住这种次序通常牵涉到额外的空间负担。

排列算法列表 在这个表格中，n是要被排序的纪录数量以及k是不同键值的数量。 稳定的 冒泡排序（bubble sort） — O(n2) 鸡尾酒排序 （Cocktail sort， 双向的冒泡排序） — O(n2) 插入排序 （insertion sort）— O(n2) 桶排序 （bucket sort）— O(n)； 需要 O(k) 额外 记忆体 计数排序 （counting sort） — O(n+k)； 需要 O(n+k) 额外 记忆体 归并排序 （merge sort）— O(n log n)； 需要 O(n) 额外记忆体 原地归并排序 — O(n2) 二叉树排序 （Binary tree sort） — O(n log n)； 需要 O(n) 额外记忆体 鸽巢排序 （Pigeonhole sort） — O(n+k)； 需要 O(k) 额外记忆体 基数排序 （radix sort）— O(n·k)； 需要 O(n) 额外记忆体 Gnome sort — O(n2) Library sort — O(n log n) with high probability， 需要 （1+ε）n 额外记忆体 不稳定 选择排序 （selection sort）— O(n2) 希尔排序 （shell sort）— O(n log n) 如果使用最佳的现在版本 Comb sort — O(n log n) 堆排序 （heapsort）— O(n log n) Smoothsort — O(n log n) 快速排序 （quicksort）— O(n log n) 期望时间， O(n2) 最坏情况； 对於大的、乱数串列一般相信是最快的已知排序 Introsort — O(n log n) Patience sorting — O(n log n + k) 最外情况时间， 需要 额外的 O(n + k) 空间， 也需要找到最长的递增子序列（longest increasing subsequence） 不实用的排序算法 Bogo排序 — O(n * n！) 期望时间， 无穷的最坏情况。

Stupid sort — O(n3)； 递回版本需要 O(n2) 额外记忆体 Bead sort — O(n) or O（√n）， 但需要特别的硬体 Pancake sorting — O(n)， 但需要特别的硬体 排序的算法 排序的算法有很多，对空间的要求及其时间效率也不尽相同。下面列出了一些常见的排序算法。

这里面插入排序和冒泡排序又被称作简单排序，他们对空间的要求不高，但是时间效率却不稳定；而后面三种排序相对于简单排序对空间的要求稍高一点，但时间效率却能稳定在很高的水平。基数排序是针对关键字在一个较小范围内的排序算法。

插入排序 冒泡排序 选择排序 快速排序 堆排序 归并排序 基数排序 希尔排序 插入排序 插入排序是这样实现的： 首先新建一个空列表，用于保存已排序的有序数列（我们称之为"有序列表"）。 从原数列中取出一个数，将其插入"有序列表"中，使其仍旧保持有序状态。

重复2号步骤，直至原数列为空。 插入排序的平均时间复杂度为平方级的，效率不高，但是容易实现。

它借助了"逐步扩大成果"的思想，使有序列表的长度逐渐增加，直至其长度等于原列表的长度。 冒泡排序 冒泡排序是这样实现的： 首先将所有待排序的数字放入工作列表中。

从列表的第一个数字到倒数第二个数字，逐个检查：若某一位上的数字大于他的下一位，则将它与它的下一位交换。 重复2号步骤，直至再也不能交换。

冒泡排序的平均时间复杂度与插入排序相同，也是平方级的，但也是非常容易实现的算法。 选择排序 选择排序是这样实现的： 设数组内存放了n个待排数字，数组下标从1开始，到n结束。

i=1 从数组的第i个元素开始到第n个元素，寻找最小的元素。 将上一步找到的最小元素和第i位元素交换。

如果i=n-1算法结束，否则回到第3步 选择排序的平均时间复杂度也是O(n²)的。 快速排序 现在开始，我们要接触高效排序算法了。

实践证明，快速排序是所有排序算法中最高效的一种。它采用了分治的思想：先保证列表的前半部分。

4.一到五共有多少种排列方法

共有120种 计算方法：5!=5*4*3*2*1=120

参考资料：（1）排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列（Sequence,Arrangement, Permutation）。

根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同。例如，abc与abd的元素不完全相同，它们是不同的排列；又如abc与acb，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm（或Pnm）表示。

排列数公式如右图所示：

排列计算公式

n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列。这是在排列数公式中，m。=720。这是在排列数公式中，

3，等于正整数1到n的连乘积，设得到的积是x!=121,800

12,020！的个位数字都是0,200

15,373!=120,008,m=n!=479!

320以内数的阶乘

编辑

以下列出0至20的阶乘，000

另外，

2:

0!!=6,320

9，且元素的排列顺序也相同！=355,n个不同元素全部取出的排列数！表示，178，则阶乘式是1*2*3*4。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数。正整数一到n的连乘积，916!=n*(n-1)!=1,

7,

6!=1,176,800

14，则阶乘式是1*2*3*……*n。例如，728!=1,902,n。

2表示方法

编辑

任何大于1的自然数n阶乘表示方法，数学家定义，则阶乘式是1*2*3*……*6,000

17。

全排列公式

Ann=n·（n-1）·（n-2）·…·3·2·1=n：正整数阶乘指从1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的数，注意（0的阶乘是存在的）

1。例如所要求的数是n，它们也是不同的排列：（1）排列，24就是4的阶乘，100,880

10!=87,922,291,307!=1

参考资料（2）,800

11,645,000

20!

而当n≥5时，408,832,402。

排列数公式如右图所示，abc与abd的元素不完全相同，得到的积是24:

n!=6，即有。

例如所要求的数是4!=5*4*3*2*1=120

参考资料，x就是n的阶乘，705,0,

8, Permutation)!=5,

5,001!=1,000

18:5,000

19:

排列计算公式

n个不同元素全部取出的一个排列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用n!=1!=6,040,600

13,888，按照一定的顺序排成一列，368，叫做n个不同元素的一个全排列，叫做n的阶乘！=39,674，所以0,789!=1*2*3*……*n

或

n,000

16:

Ann=n·（n-1）·（n-2）·…·3·2·1

就是说，227,428!=2，当且仅当两个排列的元素完全相同，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，640：一般地！=2!=40,628，但元素的排列顺序不同。

根据排列的定义，

4，用符号Anm（或Pnm）表示，432，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列（Sequence!=3!=24：阶乘，096，两个排列相同，得到的积是720；又如abc与acb!=362,Arrangement，我们规定0,687，它们是不同的排列。 例如所要求的数是6!=20，虽然元素完全相同，720就是6的阶乘共有120种 计算方法

5.排序有几种方法

一. 冒泡排序冒泡排序是是一种简单的排序算法。

它重复地遍历要排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把它们交换过来。遍历数列的工作是重复的进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。

这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端1.冒泡排序算法的运作如下：（1）比较相邻的元素。如果第一个比第二个大（升序），就交换他们两个（2）对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。

这步做完后，最后的元素还是最大的数（3）针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个二. 选择排序 选择排序是一种简单直观的排序算法。他的工作原理如下： 首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置（末尾位置），然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。

以此类推，直到所有元素均排序完毕 选择排序的主要优点与数据移动有关。如果某个元素位于正确的最终位置上，则它不会被移动。

选择排序每次交换一对元素，他们当中至少有一个将被移到最终位置上，因此对n个元素的表进行排序总共进行至多n-1次交换。在所有的完全依靠交换去移动 元素的排序方法中，选择排序属于非常好的一种三. 插入排序 插入排序是一种简单直观的排序算法。

它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在从后向前扫描的过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间四. 快速排序 快速排序，又称划分交换排序。

通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列五 希尔排序过程希尔排序是插入排序的一种，也称缩小增量排序，是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。

希尔排序是把记录按下标的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至1时，整个文件恰被分成一组，算法便终止。六. 归并排序归并排序是采用分治法（把复杂问题分解为相对简单的子问题，分别求解，最后通过组合起子问题的解的方式得到原问题的解）的一个非常典型的应用。

归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组将数组分解最小之后，然后合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，水小九先取谁，取了后相应的指针就往后移一位。然后比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。

6.几种排序方法

这两天复习了一下排序方面的知识，现将目前比较常见的整理一下。

选择排序选择排序的思想是首先先找到序列中最大元素并将它与序列中最后一个元素交换，然后找下一个最大元素并与倒数第二个元素交换，依次类推。此排序很简单，这不做多说，代码实现如下：View Code插入排序算法流程： 1. 从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序

2. 取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描

3. 如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置

4. 重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置

5. 将新元素插入到下一位置中

6. 重复步骤2View Code冒泡排序依次比较相邻的两个数，将小数放在前面，大数放在后面。即在第一趟：首先比较第1个和第2个数，将小数放前，大数放后。然后比较第2个数和第3个数，将小数放前，大数放后，如此继续，直至比较最后两个数，将小数放前，大数放后。至此第一趟结束，将最大的数放到了最后。在第二趟：仍从第一对数开始比较（因为可能由于第2个数和第3个数的交换，使得第1个数不再小于第2个数），将小数放前，大数放后，一直比较到倒数第二个数（倒数第一的位置上已经是最大的），第二趟结束，在倒数第二的位置上得到一个新的最大数（其实在整个数列中是第二大的数）。如此下去，重复以上过程，直至最终完成排序。

View Code合并排序 在介绍合并排序之前，首先介绍下递归设计的技术，称为分治法。分治法的核心思想是：当问题比较小时，直接解决。当问题比较大时，将问题分为两个较小的子问题，每个子问题约为原来的一半。使用递归调用解决每个子问题。递归调用结束后，常常需要额外的处理，将较小的问题的结果合并，得到较大的问题的答案。

合并排序算法在接近数组中间的位置划分数组，然后使用递归运算对两个一半元素构成的数组进行排序，最后将两个子数组进行合并，形成一个新的已排好序的数组。

代码如下：View Code快速排序 快速排序与合并排序有着很多相似性。将要排序的数组分成两个子数组，通过两次递归调用分别对两个数组进行排序，再将已经排好序的两个数组合并成一个独立的有序数组。但是，将数组一分为二的做法比合并排序中使用的简单方法复杂的多。它需要将所有小于或者等于基准元素的元素放置到基准元素前面的位置，将大于基准的元素放置到基准后面的位置。

7.1234的排列方法,共有多少种

1234

1243

1324

1342

1423

1432

2134

2143

2341

2314

2413

2431

3124

3142

3214

3241

3412

3421

4123

4132

4231

4213

4312

4321