不定积分的计算方法(求不定积分,一共三种方法)

1.求不定积分,一共三种方法

1、第二类换元积分法

令t=√（x-1），则x=t^2+1,dx=2tdt

原式=∫（t^2+1）/t*2tdt

=2∫（t^2+1）dt

=(2/3)*t^3+2t+C

=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2√（x-1）+C，其中C是任意常数

2、第一类换元积分法

原式=∫（x-1+1）/√（x-1）dx

=∫[√（x-1）+1/√（x-1）]d(x-1)

=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2√（x-1）+C，其中C是任意常数

3、分部积分法

原式=∫2xd[√（x-1）]

=2x√（x-1）-∫2√（x-1）dx

=2x√（x-1）-(4/3)*(x-1)^(3/2)+C，其中C是你任意常数

2.常用不定积分公式

不定积分公式为：

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定，其中F是f的不定积分。

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

扩展资料：

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。

要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长*宽*高求出。

但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

3.求不定积分的几种运算方法

一、积分公式法

直接利用积分公式求出不定积分。

二、换元积分法

换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

1、第一类换元法（即凑微分法）

通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

2、注：第二类换元法的变换式必须可逆，并且在相应区间上是单调的。

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种：

(1) 根式代换法，

(2) 三角代换法。

在实际应用中，代换法最常见的是链式法则，而往往用此代替前面所说的换元。

三、分部积分法

设函数和u,v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu，两边积分，得分部积分公式：∫udv=uv-∫vdu ⑴。

称公式⑴为分部积分公式。如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v。

扩展资料：

牛顿-莱布尼茨公式：

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。这个重要理论就是牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：

如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′（x）=f(x)，那么

即一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。

这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系。因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

参考资料来源：百度百科-不定积分

4.常用不定积分公式

不定积分公式为： 在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定，其中F是f的不定积分。 根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。 一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

连续函数，一定存在定积分和不定积分。 扩展资料：积分发展的动力源自实际应用中的需求。

实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。 要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。

比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长*宽*高求出。 但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。

物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

5.不定积分的公式有哪些 最好比较全

原发布者：xhj1017

常见不定积分公式 1）∫0dx=c 2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c 3）∫1/xdx=ln|x|+c 4））∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5）∫e^xdx=e^x+c 6）∫sinxdx=-cosx+c 7）∫cosxdx=sinx+c 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10）∫1/√（1-x^2） dx=arcsinx+c 11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 15）∫1/√（a^2-x^2） dx=arcsin(x/a)+c 16）∫sec^2xdx=tanx+c; 17）∫shxdx=chx+c; 18）∫chxdx=shx+c; 19）∫thxdx=ln(chx)+c;1.∫adx=ax+C(a为常数)2.∫sin(x)dx=-cos(x)+C3.∫cos(x)dx=sin(x)+C4.∫tan(x)dx=-loge|cos(x)|+C=loge|sec(x)|+C5.∫cot(x)dx=loge|sin(x)|+C6.∫sec(x)dx=loge|sec(x)+tan(x)|+C7.∫sin2(x)dx8.9.∫cos2(x)dx10.11.∫tan2(x)dx=tan(x)-x+C12.∫cot2(x)dx=-cot(x)-x+C13.∫sin(ax)sin(bx)dx14.∫sin(ax)cos(bx)dx15.∫cos(ax)cos(bx)dx16.∫xsin(x)dx=sin(x)-xcos(x)+C17.∫xcos(x)dx=cos(x)+xsin(x)+C18.∫x2sin(x)dx=(2-x2)cos(x)+2xsin(x)+C19.∫x2cos(x)dx=(x2-2)sin(x)+2xcos(x)+C20.∫exdx=ex+C21.

6.不定积分公式

不定积分公式：∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

不定积分的积分公式主要有如下几类：

含ax+b的积分、含√（a+bx）的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b(a>0)的积分、含有√（a²+x^2） (a>0)的积分、含有√（a^2-x^2） (a>0)的积分、含有√（|a|x^2+bx+c） (a≠0)的积分。

含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。

扩展资料：

积分性质

1、线性性

积分是线性的。如果一个函数f 可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

2、保号性

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

参考资料来源：搜狗百科—积分公式

7.不定积分有哪些常用公式

1）∫0dx=c 不定积分的定义

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2） dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 基本积分公式

14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c

15）∫1/√（a^2-x^2） dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c

16） ∫sec^2 x dx=tanx+c;

17） ∫shx dx=chx+c;

18） ∫chx dx=shx+c;

19） ∫thx dx=ln(chx)+c;