欧拉完美公式里面的5个数是怎么产生的？可以详细阐述吗？
e^iπ + 1 = 0
作为欧拉公式的一个特例，五个最重要的数学常数：0，1，i，π，e，被连接成一个等式。乍一看很神奇，但其实很必然：假如这5个数不能连成等式，也一定会出现第6第7个常数能把大家连起来。
其实这几个数本身的来历很简单，按时间顺序简要说下：
1，最先被人类认知，代表人类可以从“一匹马，一个苹果”中把数量的概念抽象出来。
0，据说是印度人最先明确引入，是数域的第一次扩张，也是人类抽象能力的一次提升。
π，人类第一次对圆周率进行系统而科学的计算始于公元前二世纪的阿基米德，他提出了用内接正多边形和外切正多边形的周长双向逼近的极为严谨的方法，计算出π≈3.1416。四百多年后中国三国时期曹魏的大数学家刘徽也提出了用内接多边形单向逼近的方法（祖冲之沿用了刘徽的方法）。
π 还有一个影响深远的问题，就是古希腊三大尺规作图问题之一的化圆为方，两千年无人能解，19世纪初伽罗华创建抽象代数理论并完美指出所有尺规作图问题可解的问题等价于整数对+-*/和√的扩张域，所以化圆为方问题等价于π是否在该扩张域内。几十年后林德曼证明了π是超越数（非代数数），而上述扩张域显然是代数数域的子集，所以化圆为方必然无解。
i，√-1 的出现是必然的，是数域扩张的必然结果。早在9世纪波斯数学家花剌子米的“代数学”一书里讨论一元二次方程求解的判别式时已经涉及到了负数开平方的问题。文艺复兴时期卡丹和他学生兼女婿法拉利（不是造车的那个）研究三次和四次方程求解时已经引进了这个概念，卡丹称其为“诡辩量”，说自己“对此既感到费解，又能心安理得的使用它”。i就是imaginary number（想象中的数，即虚数）的首字母，也是欧拉大神拍板定案的。
e，出现的最晚，关于起源有多种说法，不再赘述，对e贡献最大的就是欧拉。e 在数学里最特殊和有价值的一点就是e^x是导数运算的特征函数（导数=原函数），e的性质是上述常数里最多的，没法展开说，以下略去十万字…
e^iπ + 1 = 0 其实是以下欧拉公式的一个特例：
e^ix = cosx + i*sinx
这就是复数的欧拉表示法，这个公式极为重要，在绝大多数场合下，这比复数用a+i*b的向量表示要好用无穷倍，比如傅里叶变换和拉普拉斯变换。
请务必清楚：这个公式并非欧拉拍脑袋定义出来的，而是必然的，可推导的！不理解这点，大学数学就等于白学了。
下面给出两个非常简单的证明（限于篇幅，略掉每个步骤繁琐的严谨性证明细节）：
方法一，从右往左推：
令x=ny，则
cos x + i*sin x
= cos(ny) + i*sin(ny)
= （cos y + i*sin y）^n
令n趋于∞，则y趋于0，于是：
cos y 趋于1，sin y趋于y，则上式趋于：
（1 + iy）^n
=（1 + ix/n）^n
=（1 + kδ）^n，其中k=ix，δ=1/n趋于0。
根据二项式定理，δ趋于0时有：
(1+δ)^k趋于1+kδ，所以上式趋于：
（1 + δ）^kn
=（1 + 1/n）^ixn
=（(1 + 1/n)^n）^ix
= e^ix
证毕。
方法二，从左往右推：
若e^ix为复数，令其= C(x) + i*S(x)
其中C和S是两个关于x的实函数。
两边求导有：
（e^ix）'
= i*e^ix
= i*C(x) - S(x)
= C'(x) + i*S'(x)
于是有：C'=-S，S'=C，构成一次微分方程组。
同时代入初值x=0，有：
e^i*0 = 1，即：C(0)=1，S(0)=0。
于是上述微分方程组有唯一解。
而显然C=cos，S=sin是该微分方程组的解。
所以只要e^ix能表示为复数，就只能表示为：
e^ix = cosx + i*sinx
我个人碰到过一个很有趣的小游戏，用到了欧拉公式：
一个大学同学出了一道24点游戏的高阶问题。
24点的基础版本是用四个1-13（扑克牌A-K）的数通过加减乘除算出24。
该同学出的高阶问题是只使用两个1，可以引进其它算符，但不许包含任何数字或字母（因此所有三角函数和对数被禁用），算24。
这题有多解，其中最漂亮的解答是同学自带的：
[（√-1）^ (-√-1)]！
= [i^-i]！
= [（e^iπ/2）^-i ]！
= [ e^(π/2) ]！
= [4.8…]！
= 4！
= 24
